1) Geometria differenziale: varietà differenziabili, spazio
tangente, tensori; operazioni sui
tensori: contrazione, prodotto tensoriale; campi tensoriali, derivata di Lie,
operatori di derivazione; trasporto parallelo, geodetiche; tensore di curvatura
e sue proprietà algebriche, identità di Bianchi, equazione della deviazione
geodetica. Varietà Riemanniane, connessione di Levi-Civita, proprietà
addizionali del tensore di curvatura nel caso metrico, identità di Bianchi
contratte; proprietà estremali delle geodetiche; regola di trasporto di
Fermi-Walker; campi di Killing.
2) Significato fisico del tensore metrico: principio
del moto geodetico e determinazione sperimentale del tensore metrico tramite
l’osservazione di raggi luminosi e di corpi di prova in caduta libera; misure
di tempi e di lunghezze.
3) Equazioni di campo di Einstein: approssimazione
di campo debole e limite newtoniano; campi a simmetria centrale, teorema di
Birkhoff; soluzione di Schwarzschild, problema interno per una massa fluida.
Geodetiche della metrica di Schwarzschild e test classici della teoria: precessione
del perielio di Mercurio, deflessione dei raggi luminosi e spostamento verso
il rosso delle righe spettrali in un campo gravitazionale. Estensione di Kruskal.
4) Cosmologia: principio cosmologico, la metrica di
Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker, le definizioni di distanze, la legge di
Hubble, il redshift, scale di distanza, di tempo e di densità, contributi alla
densità media dell’universo, la radiazione di fondo, equazioni di Friedmann, i
modelli di Friedmann, universi Di Einstein-de Sitter, soluzioni vicino alla
singolarità iniziale, proprietà dei modelli curvi, modelli polvere-materia,
modelli di tipo radiativo, evoluzione del parametro di densità, l’orizzonte
delle particelle.
5) Onde gravitazionali: approssimazione di campo
debole, condizioni di gauge, gauge TT, stati di polarizzazione. Emissione di
onde gravitazionali, formule di quadrupolo, energia irraggiata. Il sistema
binario PSR1913+16. Cenni sulla rivelazione delle onde gravitazionali.
6) Principi variazionali: azione di
Einstein-Hilbert; teorema di Noether per
teorie generalmente covarianti; superpotenziali delle correnti conservate;
pseudotensore di Landau-Lifshitz; energia, momento e momento angolare di un
sistema gravitante isolato.
Testi consigliati:
R.
M. Wald, General
relativity (The University of Chicago Press).
S.
Weinberg, Gravitation and Cosmology,
(Wiley, New York).
T. Levi-Civita, Fondamenti
di Meccanica Relativistica (Zanichelli, Bologna).
L.D.Landau e E.Lifshitz, The classical theory of fields (Pergamon,
D.E.Soper, Classical field theory
(Wiley,
F. Lucchin, Introduzione
alla cosmologia (Zanichelli, Bologna).