Fisica | Introduzione alla Fisica

1 Il metodo sperimentale

(procedimento di induzione/deduzione e limiti di validità)

Più che gli argomenti affrontati, ciò che caratterizza la Fisica è il metodo utilizzato per affrontarli. Tale metodo, detto metodo scientifico o metodo sperimentale, è caratterizzato da un procedimento di induzione/deduzione: da alcuni fatti sperimentali si ricava, per induzione (il processo di induzione passa da situazioni particolari a situazioni generali) una legge fisica che, successivamente, viene utilizzata per dedurre (la deduzione è il processo che passa dal generale al particolare) informazioni su situazioni (esperimenti di verifica o applicazioni) che comprendono una casistica molto più ampia di quella di partenza. La Fig.1.1 illustra schematicamente il processo di induzione/deduzione, essenziale nel metodo sperimentale, sottolineando che partendo da un piccolo numero di situazioni sperimentali opportunamente selezionate si riescono ad ottenere informazioni su un più vasto numero di situazioni applicative.

Nonostante il processo di induzione consenta di estendere l'applicabilità di una legge fisica ben oltre le specifiche situazioni sperimentati da cui si è partiti, una teoria fisica (ossia un insieme coerente di un piccolo numero di leggi fisiche che, con l'aiuto di alcune definizioni e di deduzioni logico-matematiche, sono in grado di descrivere una gamma abbastanza ampia di fenomeni) o il corrispondente modello matematico ha sempre dei limiti di validità che devono essre tenuti ben presenti quando li si utilizza. Al di fuori di tali limiti deve essere utilizzata un'altra teoria.

Ad esempio

• la meccanica classica non è in grado di trattare situazioni in cui
  • le velocità sono confrontabili con la velocità della luce nel vuoto (\( c = 0.300\,10^{9}\,\text{m/s} \) pari a \( 83.3\,10^{6}\,\text{km/h} \)) (per velocità confrontabili con la velocità della luce occorre utilizzare la teoria della relatività)
  • le dimensioni lineari (lunghezze) sono confrontabili con le dimensioni atomiche (per averne un'idea: il “raggio di Bohr” è \( a_0 = 52.9\,10^{-12}\,\text{m} \)) (per dimensioni confrontabili a quelle atomiche occorre utilizzare la meccanica quantistica).
• l'ottica geometrica non può essere applicata quando
  • le dimensioni degli oggetti sono paragonabili alla lunghezza d'onda della luca (ordine di grandezza \(0.5\,\mu\text{m}\)) (altrimenti è necessario tener conto della natura ondulatoria della luce)
  • l'assorbimento o l'emissione di energia avviene a livello di fotoni (ad es. effetto fotoelettrico, spettro di emissione di corpo nero, etc.) (altrimenti è necessario tener conto della natura quantistica della luce)

2 Le grandezze fisiche

(definizione operativa, misura ed analisi dimensionale)

Le leggi e le teorie fisiche sono espresse in termini matematici e per far ciò è necessario che le grandezze fisiche possano essere espresse in forma numerica. Ciò implica che per ogni grandezza fisica deve essere fornita una definizione operativa tale, cioè, da fornire un metodo che permetta di effettuarne una misura quantitativa.

La misura di una grandezza fisica è il valore numerico che esprime il rapporto con una particolare occorrenza, l'unità di misura, della grandezza fisica. Pertanto il valore numerico di una grandezza fisica deve essere sempre accompagnato dall'indicazione dell'unità di misura utilizzata. Inoltre, per facilitare lo scambio di informazioni, è opportuno concordare una volta per tutte un piccolo numero di unità di misura che consentano di esprimere tutte le grandezze fisiche.

Per far ciò si definiscono in maniera diretta solo le unità di misura (unità di misura fondamentali) di un piccolo numero di grandezze fisiche, mentre le unità di misura delle altre grandezze fisiche (unità di misura derivate) si ottengono da combinazioni di quelle fondamentali utilizzando formule ricavate da regole geometriche o da leggi fisiche.

La decisione di quante e quali unità di misura considerare fondamentali è arbitraria e viene effettuata in base a considerazioni tecniche, quali la precisione e la riproducibilità ottenibili, nonché tenendo conto di ragioni storiche. Nel Sistema Internazionale (\(\text{SI}\)), il sistema di unità di misura attualmente ampiamente adottato anche per considerazioni di carattere legale, le unità fondamentali sono sette (Tab.1.1a).

Una curiosità: l'unità di massa del \(\text{SI}\) è il “chilogrammo” (simbolo \(\text{kg}\)) ma multipli e sottomultipli sono indicati a partire dal grammo (simbolo \(\text{g}\)). Infatti per indicare un milionesimo (\(10^{-6}\), “micro”, simbolo \(\mu\)) dell'unità di misura (\( 10^{-6}\,\text{kg}\)) si parla di “milli-grammo” (\(1\,\text{mg}\) \( = 10^{-3}\,\text{g}\) \( = 10^{-6}\,\text{kg} \)) e non di “micro-kilogrammo”. Ciò deriva, storicamente, dal fatto che per un certo tempo sono convissuti due sistemi di unità di misura: il \(\text{cgs}\) (sigla per “centimetro, grammo, secondo”) e l'\(\text{MKS}\) (sigla per “metro, kilogrammo, secondo”) che, pur condividendo i significati di “metro” e di “grammo”, non li utilizzavano come unità di misura.

Per comodità sono definite anche due unità di misura accessorie (Tab.1.1b) per la misura degli angoli piani e degli angoli solidi che sono, in effetti, grandezze adimensionali.

Nel \(\text{SI}\) la misura \( \vartheta \) di un angolo piano (ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette del piano che hanno un estremo in comune) è definita (Fig.1.2) come il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza \( l \) sotteso dall'angolo ed la lunghezza del raggio \( r \) della circonferenza medesima: \( \vartheta = l/r \).

Anche se si tratta di una grandezza adimensionale, in quanto ottenuta come il rapporto tra due lunghezze, per comodità si definisce una unità di misura accessoria detta radiante (Tab.1.1b). Poiché l'angolo giro vale \( 2 \pi\,\text{rad} \) ovvero \( 360^{\text{o}} \) è facile convertire la misura di un angolo da gradi sessagesimali (\( 1^{\text{o}} \) è pari ad \( 1/90 \) di angolo retto) a radianti e viceversa: \[ \vartheta_{\text{in radianti}} = \vartheta_{\text{in gradi}}\,{\pi}/{180} \] \[ \vartheta_{\text{in gradi}} = \vartheta_{\text{in radianti}}\,{180}/{\pi} \]

In effetti quando un angolo compare come argomento di una funzione trigonometrica (come in \( \sin \left( \vartheta \right) \) oppure \( \tan \left( \alpha \right) \)) è indifferente se l'angolo sia espresso in gradi o radianti (occorre solo tenerlo presente quando si eseguono i calcoli numerici). È invece essenziale misurare un angolo in radianti quando compare come grandezza a sè stante (come in \( v_{\text{media}} = r\,{\left( \vartheta_2 - \vartheta_1 \right)} /{\left( t_2 - t_1 \right)} \)).

Il corrispondente tridimensionale dell'angolo piano è dato dall'angolo solido (Fig.1.3): ciascuna delle due parti in cui lo spazio è suddiviso da un fascio di semirette aventi l'origine in comune.

Utilizzando un procedimento analogo a quello seguito per effettuare la misura dell'angolo piano (in radianti), la misura \( \Omega \) di un angolo solido nel \(\text{SI}\) è definita come il rapporto tra l'area \( a \) della calotta sferica sottesa dall'angolo solido ed il raggio al quadrato \( r^2 \) della circonferenza considerata: \( \Omega = a / r^2 \). Anche in questo caso sebbene si tratti di una grandezza adimensionale, in quanto ottenuta come il rapporto tra un'area ed il quadrato di una lunghezza, si definisce una unità di misura accessoria detta steradiante (Tab.1.1b). Si osservi che il corrispondente tridimensionale dell'angolo giro (che comprende tutto il piano e vale \( 2\,\pi\,r / r = 2\,\pi\,\text{rad} \)) è l'angolo solido totale (che comprende tutto lo spazio) e vale \( 4\,\pi\,r^2 / r^2 = 4\,\pi\,\text{sr} \).

Tutte le altre unità di misura (la Tab.1.2 riporta le unità di misura \(\text{SI}\) delle principali grandezze fisiche che si incontrano nello studio della meccanica) sono date dal prodotto di due o più unità fondamentali elevate ad esponenti interi, positivi o negativi, dette dimensioni della grandezza fisica.

Occorre tener presente che è comunque ammesso l'uso di alcune unità di misura non-\(\text{SI}\) (in particolare per la misura del tempo e degli angoli) molto diffuse (Tab.1.1c).

Sebbene il \(\text{SI}\) sia ormai quasi universalmente adottato, nei paesi anglosassoni, sopravvive ancora l'uso di unità di misura definite come “Imperial units” (in UK, Regno Unito) o “United States customary units” (in US, Stati Uniti) che qui indicheremo genericamente con il termine sistema anglosassone (di unità di misura). Tra di esse ricordiamo (unità UK che talvolta differiscono leggermente dalle unità US con lo stesso nome) \[ \text{mile (miglio):}\;\; 1\,\text{mi} = 1760\,\text{yd} \\ \text{yard (yarda):}\;\; 1\,\text{yd} = 3\,\text{ft} \\ \text{foot (piede):}\;\; 1\,\text{ft} = 12\,\text{in} \\ \text{inch (pollice):}\;\; 1\,\text{in} = 25.4\,\text{mm} \] per la lunghezza \[ \text{pount (libbra):}\;\; 1\,\text{lb} = 453.59237\,\text{g} \\ \text{ounce (oncia):}\;\; 1\,\text{oz} = (1/16)\,\text{lb} \] per la massa \[ \text{gallon (gallone):}\;\;1\,\text{gal} = 8\,\text{pt} \\ \text{pint (pinta):}\;\; 1\,\text{pt} = 20\,\text{fl oz} \\ \text{fluid ounce (oncia liquida):}\\ 1\,\text{fl oz} = 28.4130625\,\text{mL} \] per il volume.

Poiché è possibile sommare, sottrarre o uguagliare solo grandezze fisiche omogenee, ossia espresse nella stessa unità di misura, è utile fare sempre una verifica dimensionale delle espressioni trovate: le dimensioni di termini sommati, sottratti o uguagliati tra loro devono essere le stesse, inoltre devono essere adimensionali gli argomenti delle funzioni trascendenti: gli angoli nelle funzioni trigonometriche (ad esempio \( \vartheta \) in \( \sin\left( \vartheta \right) \)), gli esponenti (ad esempio \( x \) in \( \exp \left( x \right) \) o \( e^x \)) nelle potenze, etc. . È infine opportuno verificare che il risultato finale abbia le dimensioni della grandezza fisica cercata: se ad esempio si sta calcolando una velocità il risultato finale deve essere espresso come una lunghezza diviso un tempo, ad esempio \( \text{km/h} \) o \( \text{m/s} \) o \( \text{in/min} \) (pollici al minuto) ma non potrà mai essere espressa in \( \text{kg/s} \). Una espressione dimensionalmente errata è sicuramente errata mentre, come à ovvio, una espressione dimensionalmente corretta può anche essere errata.

3 Rappresentazione numerica di una grandezza fisica

(errore di misura e cifre significative)

Poiché le stesse unità di misura devono servire per fornire la misura delle grandezze più disparate si verificano sia situazioni in cui l'oggetto da misurare è enormemente più piccolo che situazioni in cui l'oggetto da misurare è enormemente più grande dell'unità di misura adottata (si pensi, ad esempio, alla distanza tra due atomi in un cristallo ed alla distanza tra due stelle in una galassia). È quindi opportuno far ricorso alla notazione esponenziale che utilizza le potenze di \( 10 \) (preferibilmente in multipli, positivi o negativi, di \(3\): \( 10^{\pm 3} \), \( 10^{\pm 6} \), etc.).

Ancor più comodo è l'uso dei multipli e dei sottomultipli i cui simboli e relativi significati sono riportati in Tab.1.1d. Ad esempio: \[ 0.00000567\,\text{m} = 5.67\,10^{-6}\,\text{m} = 5.67\,\mu\text{m} \] \[ 56700000\,\text{m} = 56.7\,10^{6}\,\text{m} = 56.7\,\text{Mm} \]

Si parla di notazione scientifica quando, utilizzando una opportuna potenza di \(10\), si riporta il valore numerico come \(0.\cdots\,10^{\pm n}\). In tal modo le \(\text{c.s.}\) coincidono con le \(\text{c.d.}\): \[ 4808.73\,\text{m} = 0.480873\,10^4\,\text{m} \\ 1064\,\text{nm} = 0.1064\,10^{-5}\,\text{m} \] Si parla di notazione ingegneristica quando, lasciando una o due cifre significative prima del punto decimale, si fà in modo che l'esponente di \(10\) sia multiplo di \(3\): \[ 4808.73\,\text{m} = 4.80873\,10^3\,\text{m} \\ 1064\,\text{nm} = 1.064\,10^{-6}\,\text{m} \]

Uno strumento di misura realizzato correttamente deve fornire una indicazione dell'errore di misura oltre, ovviamente, al valore della misura. In uno strumento di buona qualità, se non vi è altra indicazione, l'errore corrisponde grosso modo a metà della lettura più piccola che lo strumento è in grado di effettuare: un metro flessibile da muratore che riporta le tacche dei millimetri (misura più piccola \( 1\,\text{mm} \)) se ben realizzato ha un errore di misura di \( \pm 0.5\,\text{mm} \), un righello che riporta le tacche dei mezzi millimetri (misura più piccola \( 0.5\,\text{mm}\)) se ben realizzato ha un errore di misura di \( \pm 0.25\,\text{mm} \).

Quando si fornisce il valore numerico di una grandezza fisica bisogna sempre mettere chi legge in grado di conoscerne la maggiore o minore precisione che dipende sia dal procedimento di calcolo che dagli strumenti di misura utilizzati. Una notazione molto sintetica, utilizzata frequentemente, si ottiene riportando, subito dopo il valore della misura, il valore dell'errore assoluto, preceduto dal segno “\(\pm\)”. Ad esempio se misuriamo la lunghezza \( D \) della parete di una stanza con un doppio decametro che riporta le tacche dei centimetri, la lunghezza \( L \) di un mobile con un doppio metro da falegname che riporta le tacche dei millimetri e l'altezza \( h \) di un foglio “A4” con un righello che riporta le tacche dei mezzi millimetri possiamo scrivere i risultati come: \[ D = 3.50\,\text{m} \,\pm\,0.5\,\text{cm} \] \[ L = 1.250\,\text{m} \,\pm\,0.5\,\text{mm} \] \[ h = 297\,\pm\,0.25\,\text{mm} \]

Si deve tener presente che, più importante dell'errore assoluto (che nell'esempio precedente vale: \( \Delta D = \pm 0.5\,\text{cm} \) per \( D \), \( \Delta L = \pm 0.5\,\text{mm} \) per \( L \) e \( \Delta h = \pm 0.25\,\text{mm} \) per \( h \)) è l'errore relativo^[1] dato dal rapporto tra l'errore assoluto ed il valore della misura. Un valore numerico è, infatti, tanto più preciso quanto più piccolo tale valore. Nell'esempio precedente \[ \Delta D / D = \pm 0.5\,\text{cm}/ 3.50\,\text{m} \\ = \pm 0.001 = \pm 0.1\,\text{%} \] \[ \Delta L / L = \pm 0.5\,\text{mm}/ 1.250\,\text{m} \\ = \pm 0.0004 = \pm 0.04\,\text{%} \] \[ \Delta h / h = \pm 0.25\, \text{mm}/ 297\,\text{mm} \\ = \pm 0.0008 = \pm 0.08\,\text{%} \] per cui \( \Delta L / L \lt \Delta h / h \) anche se \( \Delta L \gt \Delta h \).

In effetti, quando si riporta la misura di una grandezza fisica non è corretto (in quanto è fuorviante per chi legge) riportare cifre corrispondenti ad una precisione maggiore di quella con cui si è effettuata la misura ed è bene riportare tutte le cifre, inclusi eventuali zeri finali, corrispondenti alla misura effettuata. Se si tiene conto della differenza tra \(\text{c.d.}\) (cifre decimali: tutte le cifre che seguono il punto decimale) e \(\text{c.s.}\) (cifre significative: tutte le cifre riportate, da sinistra verso destra, a partire dalla prima cifra diversa da zero^[2] ) è evidente che un valore numerico deve essere rappresentato con un numero di \(\text{c.s.}\) tanto maggiore quanto maggiore è la sua precisione.
Ad esempio, riportando i valori di \( D \) e di \( L \) citati in precedenza, con il numero di cifre significative adeguato alla precisione (facendo, cioè, in modo che l'errore assoluto sia pari a metà dell'ultima cifra significativa), abbiamo \[ D = 0.00350\,\text{km},\; 3\,\text{c.s.}, 5\,\text{c.d.} \] \[ D = 3.50\,\text{m},\; 3\,\text{c.s.}, 2\,\text{c.d.} \] \[ D = 350\,\text{cm},\; 3\,\text{c.s.}, 0\,\text{c.d.} \] \[ L = 0.001250\,\text{km},\; 4\,\text{c.s.}, 6\,\text{c.d.} \] \[ L = 1.250\,\text{m},\; 4\,\text{c.s.}, 3\,\text{c.d.} \] \[ L = 125.0\,\text{cm},\; 4\,\text{c.s.}, 1\,\text{c.d.} \] \[ L = 1250\,\text{mm},\; 4\,\text{c.s.}, 0\,\text{c.d.} \] Si noti^[3] che sarebbe scorretto scrivere \( D = 3500\,\text{mm} \) in quanto tale numero ha \( 4\,\text{c.s.} \) lasciando quindi intendere che l'errore assoluto sia \( \Delta D = \pm 0.5\,\text{mm} \) invece di \( \Delta D = \pm 0.5\,\text{cm} \).

Nel caso in cui la grandezza fisica non sia stata misurata direttamente, ma sia il risultato di un calcolo l'errore sul risultato dipende dall'errore sui dati di partenza e dalle operazioni effettuate. Di ciò si occupa la teoria della propagazione degli errori.

Nell'ambito dei corsi di Fisica Generale ci limiteremo, tuttavia, ad applicare alcune semplici regole, abbastanza intuitive, senza ulteriori approfondimenti. Regole pratiche per la propagazione degli errori:

• quando si sommano (o si sottraggono) due o più grandezze fisiche (che, come si è detto, devono essere tra loro omogenee) il risultato deve essere riportato con un numero di \(\text{c.d.}\) pari a quelle dell'addendo che ne ha di meno: \[ \left( 3.50\,\text{m} \right) + \left( 29.7\,\text{cm} \right) = 3.80\,\text{m} \\ \text{e non}\, 3.797\,\text{m} \]
• quando si moltiplicano (o si dividono) tra loro due o più grandezze fisiche (in questo caso non è necessario che siano omogenee) il risultato deve essere riportato con un numero di \(\text{c.s.}\) pari a quelle del fattore che ne ha di meno; \[ \left( 1.250\,\text{m} \right) \left( 29.7\,\text{cm} \right) = 0.371\,\text{m}^2 \\ \text{e non}\, 0.37125\,\text{m}^2 \]
• nel caso di funzioni trigonometriche, esponenziali, etc. il risultato della funzione deve essere riportato con un numero di \(\text{c.s.}\) pari a quelle dell'argomento.
\[ \cos \left( 30.0^{\text{o}} \right) = 0.866 \\ \text{e non}\, 0.86602540378\dots \]

Una regola pratica ancor più semplice è quella di

• eseguire i calcoli intermedi con una o due \(\text{c.s.}\) in più di quelle che sono richieste per il risultato finale;
• riportare il risultato finale con un numero di \(\text{c.s.}\) pari a quelle del dato che ne ha di meno.

Ci si trova quindi spesso nella necessità di “troncare” ad un determinato numero di cifre il risultato di un calcolo numerico, operazione detta arrotondamento. È bene ricordare che qualora la prima cifra “troncata” sia compresa tra \(5\) e \(9\) si deve aumentare di \(1\) l'ultima cifra riportata. Ad esempio, il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro vale \[ \pi = 3.141592653589793\dots \] e volendolo riportare con un diverso numero di \(\text{c.s.}\) si ha \[ 3.1415926535898\;\left( 14\,\text{c.s.} \right) \] \[ 3.141592653590\;\left( 13\,\text{c.s.} \right) \] \[ 3.14159\;\left( 6\,\text{c.s.} \right) \] \[ 3.1416\;\left( 5\,\text{c.s.} \right) \] \[ 3.142\;\left( 4\,\text{c.s.} \right) \] \[ 3.14\;\left( 3\,\text{c.s.} \right) \]

In particolare si parla di ordine di grandezza quando si fornisce il valore di una grandezza fisica con una sola o addirittura con zero cifre significative. Ad esempio l'ordine di grandezza di \(\pi\) è \(3\) (valore con \(1\,\text{c.s.}\)) oppure \(10^0\) (valore con \(0\,\text{c.s.}\)); l'ordine di grandezza della durata di un anno in secondi è \( 1\,\text{anno} \approx 3\,10^7\,\text{s} \) oppure \( 1\,\text{anno} \approx 10^7\,s \): infatti dato che un anno medio ha la durata di circa \(365\,\text{giorni}\) (per l'esattezza \( 1\,\text{anno} = 365.2425\,\text{d} \), ma per il calcolo dell'ordine di grandezza si può assumere \( 1\,\text{anno} \simeq 365\,\text{d} \) ) \[ 1\,\text{anno} \simeq 365\,\text{d} = \left( 365\,\text{d} \right) \left( 24\,\text{h}/\text{d} \right) \\ = 8832\,\text{h} = \cdots = 31536000\,\text{s} \\ = 3.1536000\,10^7\,\text{s} \\ = 3.15\,10^7\,\text{s}\;\left( 3\,\text{c.s.} \right) \\= 3\,10^7\,\text{s}\;\left( 1\,\text{c.s.} \right) = 10^7\,\text{s}\;\left( 0\,\text{c.s.} \right) \]

4 Rappresentazione grafica di una grandezza fisica

(punti sperimentali ed errori di misura)

Fin qui abbiamo discusso della rappresentazione numerica del valore di una grandezza fisica, ma in molti casi risulta utile essere in grado di darne una rappresentazione “grafica” su di un asse orientato graduato (Fig.1.4). Si noti che per consentire una corretta interpretazione dei dati è indispensabile che sull'asse siano sempre riportate l'indicazione del verso positivo e della grandezza fisica con la sua unità di misura. Esaminando la Fig.1.4 si ricavano i valori \( t_1 = 1.85,\text{ms} \), \( t_2 = -0.65,\text{ms} \), \( t_3 = 3.05,\text{ms} \) con un errore assoluto che possiamo assumere pari a metà della lettura più piccola, \( \Delta t = \pm 0.05\). In effetti i valori utilizzati per realizzare il grafico sono \( t_1 = 1.83,\text{ms} \), \( t_2 = -0.64,\text{ms} \), \( t_3 = 3.07,\text{ms} \) con un errore assoluto \( \Delta t = \pm 0.005\). Come si vede, anche se il grafico è realizzato con cura è possibile che si perda in precisione rispetto alla rappresentazione numerica, tuttavia in molti casi è utile anche una semplice rappresentazione grafica qualitativa.

Il grafico di una funzione di una variabile \( y = f \left( x \right) \) è la rappresentazione grafica che si ottiene utilizzando due assi orientati graduati, disposti in modo da essere ortogonali tra loro, uno (asse delle ascisse, di solito orizzontale) per la variabile indipendente \( x \) e l'altro (asse delle ordinate, di solito verticale) per la grandezza \( y \) determinata dalla funzione \( f \). La rappresentazione grafica è di grande aiuto nel capire l'andamento della funzione: la Fig.1.5 riporta graficamente gli stessi dati riportati numericamente nella tabella (Fig.1.5b) riportata più avanti, tuttavia dal grafico è molto più semplice rendersi conto che la funzione \( T_e \left( t \right) \) ha un minimo intorno a \( t \approx 5\,\text{h} \) ed un massimo intorno a \( t \approx 16\,\text{h} \).

Per evidenziare graficamente l'entità dell'errore assoluto (ciò può essere utile se non corrisponde a metà della graduazione più piccola o se non è lo stesso per tutti i punti) si utilizza una la barra di errore: un segmento la cui lunghezza è proporzionale all'errore, disegnata in corrispondenza di ciascun punto riportato nel grafico. Nella Fig.1.5 l'errore sulla temperatura (\( \Delta T = \pm 0.2^{\text{o}}\text{C}\)) è riportato tramite la barra di errore, mentre l'errore sul tempo (\( \Delta t = \pm 0.01\,\text{h}\), corrispondenti a \( \Delta t = \pm 0.5\,\text{min}\)) non è rappresentato in quanto non risulta visibile sul disegno. Si osservi che sono state utilizzate unità di misura non-\(\text{SI}\) (ore per il tempo e gradi centigradi per le temperature) allo scopo di rendere maggiormente comprensibili i valori: utilizzando le unità \(\text{SI}\) (secondi per il tempo, Kelvin per la temperatura) il punto evidenziato (\( t = 18.80\pm 0.01\,\text{h} \) , \( T_e = 6.2\pm 0.2^{\text{o}}\text{C} \) ) sarebbe caratterizzato da \( t = 64.80\pm 0.03\,\text{s} \) , \( T_e = 279.4\pm 0.2\,\text{K} \).

5 I “numeri” in fisica

(naturali, interi, razionali, reali, complessi)

In matematica si definiscono vari “tipi” di numeri aventi come caratteristica comune che nel loro ambito è possibile definire alcune operazioni, fondamentalmente la somma \( x + y \), il prodotto \( x \, y \) e l'elevamento a potenza \( x^y \).

L'insieme più semplice è quello dei numeri naturali, indicato con il simbolo \( \mathcal{N} \) e costituito, secondo una definizione “informale”^[4], dai valori utilizzati per contare gli oggetti presenti in un contenitore \( \mathcal{N} \equiv \left\lbrace 0, 1, 2, \dots \right\rbrace \). Poiché accade di voler escludere lo zero, si definisce anche l'insieme dei numeri naturali non nulli: \( \mathcal{N}^{+} \equiv \left\lbrace 1, 2, \dots \right\rbrace \). Nell'ambito dei numeri naturali sono definite la somma ed il prodotto e, tramite quest'ultimo, l'elevamento a potenza \[ x^y = x \, x \, \cdots\; \text{(}y\;\text{volte)} \] tuttavia le operazioni inverse (sottrazione, operazione inversa della somma, e divisione, operazione inversa del prodotto) non sono sempre possibili: ad esempio le operazioni \( 3 - 5 \) e \( 3 / 5 \) non danno come risultato dei numeri naturali.

Per ovviare a questi inconvenienti si definiscono i numeri interi (simbolo \( \mathcal{Z} \), definizione “informale”: numeri naturali con segno, \( \mathcal{Z} \equiv \left \lbrace 0, \pm 1, \pm 2, \dots \right\rbrace \) ) ed i numeri razionali (simbolo \( \mathcal{Q} \), definizione “informale”: numeri rappresentabili come rapporto tra due numeri interi di cui il secondo non nullo, \( \mathcal{Q} \equiv \left\lbrace \pm m / n,\; m \in \mathcal{N}, n \in \mathcal{N}^{+} \right\rbrace \) ). In tal caso la definizione di elevamento a potenza deve essere opportunamente estesa \[ x^{+m/n} = \sqrt[n]{y^m} \] \[ x^{-m/n} = \frac{1}{\sqrt[n]{y^m}} \] I numeri razionali sono caratterizzati dal fatto che la loro rappresentazione decimale richiede un numero finito (\( 3/5 = 0.6 \)) o periodico (\( 59/14 = 4.2142857142857\dots{}\)\( = 4.2{\overline{142857}}\)) di cifre decimali. Esistono tuttavia situazioni in cui tale rappresentazione non è adeguata: per rappresentare \( 2^{1/2} = \sqrt{2} = 1.41421\dots \) oppure \( \pi = 3.14159\dots \) è necessario un numero non finito e non periodico di cifre decimali.

Si definiscono quindi i numeri reali (simbolo \( \mathcal{R} \) , definizione “informale”: numeri la cui rappresentazione decimale può richiedere un numero infinito di cifre). In tal caso la definizione di elevamento a potenza deve essere ulteriormente estesa, utilizzando i logaritmi/esponenziali: \[ x^y = \text{e}^{y\,\ln\,x} = \text{exp} \left({y\,\ln\,x}\right) \]

Anche avendo definito i numeri reali vi sono alcune operazioni “vietate” come ad esempio \( \sqrt{-2} \). Per ovviare a tale inconveniente si introducono i numeri complessi (simbolo \( \mathcal{C} \), definizione “informale”: numeri la cui rappresentazione \( z = a + i\,b \) è data da una parte reale \( a = \Re \left( z \right) \) dall'unità immaginaria \( i = \sqrt{-1} \) e dal coefficiente dell'immaginario \( b = \Im \left( z \right) \).
Differenza importante tra i numeri complessi e gli altri numeri (naturali, interi, razionali, reali) è che in \( \mathcal{C} \) non è definita una relazione d'ordine: tra due numeri naturali, interi, razionali o reali differenti (\( x \ne y \)) è sempre valida una delle due relazioni (\( x \lt y \)) oppure (\( x \gt y \)), mentre tra due numeri complessi non è possibile dire quale sia maggiore e quale minore. Conseguenza di ciò è che i numeri naturali, interi, razionali e reali sono rappresentabili su di una retta (interpretata come un insieme ordinato di punti, i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta, gli altri insiemi corrispondono ad opportuni sottoinsiemi dei punti della retta) mentre i numeri complessi devono essere rappresentati e sono in corrispondenza biunivoca con i punti di un piano.

È opportuno tener presente che, sebbene i valori numerici delle grandezze fisiche siano molto spesso trattati come numeri reali, il risultato di una misura o di un calcolo numerico può avere solo un numero finito di cifre decimali ed è quindi sempre rappresentato con un numero razionale. Inoltre, sebbene possa sembrare che i numeri complessi siano solo una “curiosità” matematica essi hanno numerose applicazioni in fisica. La più diffusa, in fisica classica, è la possibilità di rappresentare simultaneamente l'ampiezza (tramite il modulo) e la fase (tramite l'argomento del numero complesso) di una oscillazione armonica \[ A\,\text{cos}\,\Phi = \Re\left(A\,e^{i\Phi}\right) \] che è l'elemento fondamentale della trasformata di Fourier (l'analogo, per le funzioni non periodiche, dei quello che è sviluppo in serie di Fourier per le funzioni periodiche).