FUNZIONI DI DUE O PIU' VARIABILI |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore |
DOMANDA |
RISPOSTA |
| Come si definisce un intorno circolare di un punto del piano? | [(9.1)pag.39] |
| Come si definisce un punto interno ad un insieme \( A\subseteq\RR^2\,\, \)? | \( (x_0,y_0) \in \RR^2 \,\,\) si dice interno ad \( A\subseteq\RR^2\,\, \) se \( \exists \delta > 0 : I_\delta (x_0,y_0) \subseteq A\,\,\) |
| Come si definisce un punto esterno ad un insieme \( A\subseteq\RR^2\,\, \)? | \( (x_0,y_0) \in \RR^2 \,\,\) si dice esterno ad \( A\subseteq\RR^2\,\, \) se \( \exists \delta > 0 : I_\delta (x_0,y_0) \subseteq \RR^2-A\,\,\) |
| Come si definisce un punto frontiera per un insieme \( A\subseteq\RR^2\,\, \)? | \( (x_0,y_0) \in \RR^2 \,\,\) si dice punto frontiera per \( A\subseteq\RR^2\,\, \) se \( \forall \delta > 0 \,\,\,\, I_\delta (x_0,y_0) \bigcap A \neq \emptyset \,\, , \,\, I_\delta (x_0,y_0) \bigcap (\RR^2-A) \neq \emptyset\,\,\) |
| Come si definisce un punto di accumulazione per un insieme \( A\subseteq\RR^2\,\, \)? | \( (x_0,y_0) \in \RR^2 \,\,\) si dice punto di accumulazione per \( A\subseteq\RR^2\,\, \) se \( \forall \delta > 0 \,\,\,\, I_\delta (x_0,y_0) \bigcap (A-\{ (x_0,y_0) \}) \neq \emptyset \,\,\) |
| Come si definisce un punto isolato di un insieme \( A\subseteq\RR^2\,\, \)? | \( (x_0,y_0) \in \RR^2 \,\,\) si dice punto isolato di \( A\subseteq\RR^2\,\, \) se \( \exists \delta > 0 \,\, : \,\, I_\delta (x_0,y_0) \bigcap A = \{ (x_0,y_0) \} \,\,\) |
| Se un punto e' interno, esterno, frontiera, di accumulazione, isolato, appartenente, non appartenente, puo' essere interno, esterno, frontiera, di accumulazione, isolato, appartenente, non appartenente (bisogna saper considerare tutte le possibilita')? | [ CLICCARE QUI] |
| Come si definisce un insieme aperto del piano? | [pag.40] |
| Come si definisce un insieme chiuso del piano? | [pag.40] |
| Come si definisce la frontiera di un insieme \( A \,\, \) del piano? | La frontiera di \( A \,\, \) e' il sottoinsieme dei punti del piano costituito dai punti frontiera di \( A \,\, \). Tale sottoinsieme si denota con il simbolo \( \,\, \partial A \,\, \) |
| Come si definisce la chiusura di un insieme \( A \,\, \) del piano? | La chiusura di \( A \,\, \) e' l'unione di \( A \,\, \) e di \( \,\, \partial A \,\, \). Coincide con l'unione di \( A \,\, \) e dei punti di accumulazione per \( A \,\, \). |
| Come si definisce un dominio del piano? | [pag.40] |
| Come si definisce un insieme limitato del piano? | [pag.41] |
| Come si definisce un aperto connesso del piano? | [pag.41] |
| Come si definisce un dominio connesso del piano? | [pag.42] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . Cosa e' il grafico di \( f\,\,\) ? | E' l'insieme \( \,\, \{ (x,y,z)\in \RR^3 \,\, : \,\, (x,y)\in A\, , \, z=f(x,y) \,\, \} \,\, \) |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . Come si definisce il limite di \( f\,\,\) in un punto \( (x_0, y_0) \,\, \) di accumulazione per \( {\it A} \,\,\) (definizione nel caso del limite finito)? | [pag.42] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . Cosa vuol dire che il limite di \( f\,\,\) in un punto \( (x_0, y_0) \,\, \) di accumulazione per \( {\it A} \,\,\) e' \( +\infty \,\, \)? | [pag.42] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . Come si definisce la continuita' di \( f \,\, \) in un punto di \( {\it A} \,\, \) ? | [pag.45] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . E' vero che \( f \,\, \) e' continua in ogni punto isolato di \( {\it A} \,\, \) ? | [pag.46] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\) e sia \( f: {\it A} \to \RR\,\,\) . Come si puo' esprimere la continuita' di \( f \,\, \) nei punti di accumulazione per \( {\it A} \,\, \) ? | [pag.46] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\). Quali sono le funzioni di classe \( C^0({\it A}) \,\, \) ? | [pag.58] |
| Enunciare il teorema di Weierstrass per le funzioni di due variabili | [pag.46] |
| Enunciare il teorema di esistenza dei valori intermedi per le funzioni di due variabili | [pag.46] |
| Come si definisce la derivata parziale rispetto a \( x \,\ \) per le funzioni di due variabili? | [pag.46] |
| Come si definisce la derivata parziale rispetto a \( y \,\ \) per le funzioni di due variabili? | [pag.47] |
| Cosa vuol dire che una funzione di due variabili e' derivabile in un punto? | [pag.47] |
| Cosa vuol dire che una funzione di due variabili e' derivabile in un insieme aperto? | [pag.47] |
| Sia \( {\it A}\subset \RR^2 \,\,\). Quali sono le funzioni di classe \( C^1({\it A}) \,\, \) ? | [pag.58] |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=x^3y^2 \,\, \) | \( f_x(x,y)=3x^2y^2 \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=2x^3y \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=x \cos y \,\, \) | \( f_x(x,y)=\cos y \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=-x\son y \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=x^2+xy^3 \,\, \) | \( f_x(x,y)=2x+y^3 \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=3xy^2 \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=e^{xy} \,\, \) | \( f_x(x,y)=ye^{xy} \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=xe^{xy} \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=x^2e^{xy} \,\, \) | \( f_x(x,y)=2xe^{xy}+x^2ye^{xy} \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=x^3e^{xy} \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=\log (x^2+xy^3) \,\, \) | \( f_x(x,y)=\frac{2x+y^3}{x^2+xy^3} \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=\frac{3xy^2}{x^2+xy^3} \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=\frac{x}{x+y^2} \,\, \) | \( f_x(x,y)=\frac{1}{x+y^2}-\frac{x}{(x+y^2)^2} \,\, \), \( \,\, f_y(x,y)=-\frac{2xy}{(x+y^2)^2} \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=\sqrt{x+\cos (xy)} \,\, \) | \( f_x(x,y)=\frac{1-y\son (xy)}{2\sqrt{x+\cos (xy)}} \,\, \) , \( \,\, f_y(x,y)=-\frac{x\son (xy)}{2\sqrt{x+\cos (xy)}} \,\, \) |
| Calcolare le derivate parziali della funzione \( f(x,y)=\arcton (x^3-2xy) \,\, \) | \( f_x(x,y)=\frac{3x^2-2y}{1+(x^3-2xy)^2} \,\, \) , \( \,\, f_y(x,y)=-\frac{2x}{1+(x^3-2xy)^2} \,\, \) |
| Dimostrare che la funzione \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \,\, \) e' continua nell'origine | La definizione di limite \( \,\, \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \,\, \) e' verificata banalmente: fissato \( \epsilon > 0 \) , basta considerare \(\,\, \delta =\epsilon \,\, \) |
| Dimostrare che la funzione \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \,\, \) non e' derivabile nell'origine | [pag.48] |
| Dimostrare che la seguente funzione non e' continua nell'origine: \( \,\,f(x,y)= \, \displaystyle\cases{& \( 0 \,\,\,\, \) se \( \,\, (x,y) = (0,0) \) \cr & \( \frac{xy}{x^2+y^2} \,\,\,\, \forall (x,y)\neq (0,0) \) }\,\,\) | [pag.56] |
| Dimostrare che la seguente funzione e' derivabile nell'origine: \( \,\,f(x,y)= \, \displaystyle\cases{& \( 0 \,\,\,\, \) se \( \,\, (x,y) = (0,0) \) \cr & \( \frac{xy}{x^2+y^2} \,\,\,\, \forall (x,y)\neq (0,0) \) }\,\,\) | [pag.56] |
| Come si definisce la matrice hessiana di una funzione reale di due variabili reali, derivabile due volte? | [(12.4)pag.50] |
| Determinare la matrice hessiana di \( f(x,y)=xy^3 \,\, \) | [Esempio 1 pag.50] |
| Dimostrare che la seguente funzione ha le derivate seconde miste diverse nell'origine: \( \,\,f(x,y)= \, \displaystyle\cases{& \( 0 \,\,\,\, \) se \( \,\, (x,y) = (0,0) \) \cr & \( \frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} \,\,\,\, \forall (x,y)\neq (0,0) \) }\,\,\) | [Esempio 2 pag.52] |
| Enunciare il teorema di Schwarz | [pag.50] |
| Come si definisce il gradiente di una funzione derivabile in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) ? | [(13.2)pag.53] |
| Come si definisce il gradiente di una funzione derivabile in un aperto di \( \RR^3 \,\, \) ? | [(19.20)pag.83] |
| Come si definisce la divergenza di una funzione vettoriale, derivabile in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) ? | [(45.24)pag.222] |
| Come si definisce il rotore di una funzione vettoriale, derivabile in un aperto di \( \RR^3 \,\, \) ? | [(42.21)pag.222 oppure (51.15)pag.262] |
| Calcolare il rotore di \( {\bf F}(x,y,z)= ( x^2y, 3x+z, xz-y) \,\, \) | rot \( {\bf F}(x,y,z)= ( -2, -z, 3-x^2) \,\, \) |
| Come si definisce il laplaciano di una funzione derivabile due volte in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) ? | [(20.2)pag.86 oppure (21.30)pag.97] |
| Sia \( {\bf F}=(F_1,F_2,F_3) \) di classe \( C^2 \,\, \) in un aperto di \( \RR^3 \,\, \). Perche' \( {\rm div} ( {\rm rot} {\bf F} ) = 0 \,\, \) ? | \( {\rm div} ( {\rm rot} {\bf F} ) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial F_3\over \partial y}- {\partial F_2\over \partial z} \right) + {\partial \over \partial y} \left( {\partial F_1\over \partial z}- {\partial F_3\over \partial x} \right) + {\partial \over \partial z} \left( {\partial F_2\over \partial x}- {\partial F_1\over \partial y} \right) = 0 \,\, \) |
| Sia \( f \) di classe \( C^2 \,\, \) in un aperto di \( \RR^3 \,\, \). Perche' \( {\rm rot} (\nabla f ) = {\bf 0} \,\, \) ? | Scrivendo la definizione di rotore in forma di determinante simbolico si ottiene una matrice (con due righe "proporzionali"), da cui si evince immediatamente che i coefficienti dei versori \( {\bf i} \,\, \) , \( {\bf j} \,\, \) , \( {\bf k} \,\, \) sono nulli |
| Quando una funzione, definita in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) , si dice differenziabile in un punto del suo insieme di definizione? | [pag.53] |
| Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di una funzione definita in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) | [(13.9)pag.54] |
| Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di \( f(x,y)=x^2y \,\, \) nell'origine | \( z=0 \,\, \) (cioe' il piano tangente e' il piano \( xy \,\, \) ) |
| Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di \( f(x,y)=xe^{xy} \,\, \) nell'origine | \( z=x \,\, \) , perche' \( f(0,0)=0 \,\, \) , \( f_x(0,0)=1 \,\, \) , \( f_y(0,0)=0 \,\, \) |
| Quando una funzione si dice differenziabile in un aperto di \( \RR^2 \,\, \)? | [pag.54] |
| Enunciare e dimostrare il teorema sulla continuita' delle funzioni differenziabili | [(13.19)pag.56] |
| Enunciare e dimostrare il teorema del differenziale | [pag.57] |
| In quale relazione sono le funzioni di classe \( C^1 \,\, \) in un aperto di \( \RR^2 \,\, \) , le funzioni differenziabili e le funzioni continue (nello stesso aperto)? | [(13.29) pag.57] |
| Enunciare il teorema di derivazione delle funzioni composte | [pag.62] |
| Scrivere la formula di derivazione delle funzioni composte, in forma scalare e in forma vettoriale | [(14.8) pag.62, (14.10) pag. 62] |
| Verificare la formula di derivazione delle funzioni composte per \( f(x,y) = xy^5 \,\, \), \( x(t) = \cos t \,\, \), \( y(t) = \son t \,\, \), | Posto \( F(t)=f(x(t),y(t)) = \cos t \cdot \son^5 t \,\, \) , risulta \( F'(t)= -\son^6 t + 5\cos^2 t \son^4 t \,\, \) . D'altra parte risulta \( f_x(x,y)= y^5 \,\, \) , \( f_y(x,y)= 5xy^4 \,\, \) e quindi \( f_x(x(t),y(t))x'(t)+f_y(x(t),y(t))y'(t)= -\son^6 t + 5\cos^2 t \son^4 t \,\, \) |
| Scrivere la definizione di derivata direzionale per una funzione di due variabili | [pag.63] |
| Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili | [pag.64] |
| Scrivere la formula per il calcolo della derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili, in forma scalare e in forma vettoriale | [(15.11)pag.65] |
| La derivata parziale rispetto ad \( x \,\, \) di una funzione \( f \,\, \) di due variabili in un punto \( (x_0,y_0) \,\, \) coincide con la derivata nell'origine di una particolare funzione di una variabile: di quale funzione si tratta? | \( F(h)=f(x_0+h) \,\, \) |
| La derivata parziale rispetto ad \( y \,\, \) di una funzione \( f \,\, \) di due variabili in un punto \( (x_0,y_0) \,\, \) coincide con la derivata nel punto \( y_0 \,\, \) di una particolare funzione di una variabile: di quale funzione si tratta? A quale intersezione corrisponde il suo grafico? | \( F(y)=f(x_0,y) \,\, \) , il cui grafico coincide con l'intersezione del grafico di \( f \,\, \) con il piano ortogonale al piano \( xy \,\, \) la cui intersezione con il piano \( xy \,\, \) e' la retta \( x=x_0 \,\, \) |
| Perche' la funzione \( f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \,\, \) ha, nell'origine, la derivata direzionale nulla secondo una qualunque direzione? | Perche' nell'origine ha le derivate parziali continue, quindi nell'origine e' differenziabile, e vale il teorema sulla derivata direzionale di una funzione differenziabile, in base al quale la derivata direzionale si puo' calcolare come prodotto scalare del gradiente per la direzione; poiche' il gradiente di tale funzione e' nullo nell'origine, anche il prodotto scalare per una qualunque direzione e' nullo |
| Calcolare la derivata direzionale della funzione \( f(x,y)=xe^y \,\, \) nel punto \( (0,1) \,\, \) , nella direzione della bisettrice del primo quadrante | \( e\sqrt{2}/2 \,\, \) |
| La derivata direzionale di \( f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \,\, \) in ogni punto diverso dall'origine e interno al cerchio di centro l'origine e raggio 1, in una direzione ortogonale al raggio che lo contiene, e' nulla | Il gradiente della funzione assegnata ha una direzione radiale, e la direzione lungo cui calcolare la derivata direzionale e' ortogonale alla direzione radiale: essendo la funzione differenziabile (perche' di classe \( C^1 \,\, \) nel cerchio aperto di centro l'origine e raggio 1), la derivata direzionale si calcola mediante il prodotto scalare di vettori ortogonali, dunque e' nulla. Dal punto di vista analitico si tratta di effettuare il prodotto scalare tra il gradiente di \( f(x,y) \,\, \), cioe' \( \left( -x/\sqrt{1-x^2-y^2} , -y/\sqrt{1-x^2-y^2} \right) \,\, \), e uno dei due versori ortogonali al vettore \( (x,y) \,\, \), cioe' \( \left( -y/\sqrt{x^2+y^2} , x/\sqrt{x^2+y^2} \right) \,\, \) (oppure il suo opposto, nel qual caso la derivata direzionale cambia solo di segno). Mettendo in evidenza le radici quadrate che sono a denominatore, tale prodotto scalare contiene il fattore \( xy-xy = 0 \,\, \) |
| Enunciare e dimostrare l'interpretazione geometrica del vettore gradiente | [pag.65] |
| Enunciare e dimostrare il teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso | [pag.69] |
| Come si definisce un punto di massimo relativo per una funzione di due variabili reali? | [pag.73] |
| Enunciare e dimostrare la "condizione necessaria del primo ordine" per i punti di estremo relativo | [pag.73] |
| La funzione \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \,\, \) e' maggiore o uguale a zero in tutto il piano e si annulla nell'origine, dunque l'origine e' punto di minimo sia relativo che assoluto, interno al dominio della funzione. Perche' per questa funzione la condizione necessaria del primo ordine non e' soddisfatta? | Perche' nell'origine \( f \,\, \) non e' derivabile: l'ipotesi di derivabilita' e' fondamentale per dimostrare la condizione necessaria del primo ordine |
| Come si definisce un punto critico per una funzione di due variabili reali? | [pag.74] |
| Enunciare la "condizione sufficiente del secondo ordine" per i punti di estremo relativo | [pag.78] |
| Come si definisce un punto sella per una funzione di due variabili reali? | [pag.76] |
| Perche' nella "condizione sufficiente del secondo ordine" per i punti di estremo relativo e' indifferente considerare, quando il determinante hessiano e' positivo, la derivata seconda rispetto ad x o rispetto a y ? | Perche' hanno lo stesso segno, vedere (18.25) pag. 79 |
| Perche' nella "condizione sufficiente del secondo ordine" per i punti di estremo relativo non si considera il caso delle derivate seconde pure nulle ? | [pag. 79] |
| Determinare gli eventuali punti di estremo relativo per la funzione \( f(x,y)=x^3+y^3+xy \,\, \) | \( (0,0) \,\, \) e' punto sella, \( (-1/3,-1/3) \,\, \) e' punto di massimo relativo |
| Determinare gli eventuali punti di estremo relativo per la funzione \( f(x,y)=x^3-y^3+xy \,\, \) | \( (0,0) \,\, \) e' punto sella, \( (1/3,-1/3) \,\, \) e' punto di minimo relativo |
| Verificare che l'equazione del piano tangente al grafico della funzione \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \,\, \) in un punto \( (x_0,y_0, f(x_0,y_0)) \,\, \) diverso dall'origine si puo' scrivere nella forma \( z=\frac{(x_0,y_0) \cdot (x,y)}{|(x_0,y_0)|} \,\, \) | L'equazione si puo' scrivere \( z=|(x_0,y_0)|+ \frac{x_0}{|(x_0,y_0)|}(x-x_0)+\frac{y_0}{|(x_0,y_0)|}(y-y_0) \,\, \) e quindi, tenendo conto del fatto che \( x_0^2+y_0^2=|(x_0,y_0)|^2 \,\, \) si ottiene \( z=\frac{(x_0,y_0) \cdot (x,y)}{|(x_0,y_0)|} \,\, \) |
| Cosa si intende per \( \RR^3 \,\, \) ? | [(19.1) pag. 81] |
| Cosa si intende per \( \RR^n \,\, \) ? | [(19.2) pag. 81] |
| Come si scrive un generico elemento di \( \RR^n \,\, \) ? | [(19.3) pag. 82] |
| Come si definisce il prodotto scalare tra vettori di \( \RR^n \,\, \) ? | [(19.7) pag. 82] |
| Come si definisce il modulo di un vettore di \( \RR^n \,\, \) ? | [(19.8) pag. 82] |
| Come si definisce la derivata parziale rispetto ad \( x \,\, \) in un punto \( (x,y,z) \,\, \), per una funzione di tre variabili \( f(x,y,z) \,\, \) ? | [(19.19) pag. 83] |
| Come si definisce il gradiente di una funzione di tre variabili \( f(x,y,z) \,\, \) ? | [(19.20) pag. 83] |
| Come si definisce il gradiente di una funzione di \( n \,\, \) variabili? | [(19.21) pag. 83] |
| Come si definisce la matrice hessiana per una funzione di tre variabili reali? | [(19.22), (19.23) pag. 84] |
| Scrivere la formula di derivazione delle funzioni composte per funzioni di \( n \,\, \) variabili reali | [(19.27) pag. 85] |
| Scrivere la formula per il calcolo delle derivate direzionali per funzioni differenziabili di \( n \,\, \) variabili reali | [(19.29) pag. 85] |
-------------------- aggiornamento del 13 novembre 2014 -------------------- |
----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----
|