\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

APPLICAZIONI DELLE DERIVATE E INTEGRALI INDEFINITI

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA

Come si definisce un punto di massimo relativo per una funzione reale?

[(34.1) pag. 111]

Come si definisce un punto di minimo relativo per una funzione reale?

[(34.2) pag. 111]

Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat

[pag. 112]

Se nel teorema di Fermat si omette l'ipotesi che il punto di massimo o di minimo relativo sia interno all'intervallo di definizione della funzione, il teorema non vale piu'. Esibire un controesempio.

Basta considerare \( f(x)=mx+q \,\, \) con \( m\neq 0 \,\, \) in un qualunque intervallo chiuso: gli estremi rappresentano un punto di massimo relativo e un punto di minimo relativo in cui la derivata e' diversa da zero (e infatti in entrambi i punti coincide con \( m \,\, \)

Se nel teorema di Fermat si omette l'ipotesi che nel punto di massimo o di minimo relativo la funzione sia derivabile, il teorema non vale piu'. Esibire un controesempio.

Basta considerare la funzione valore assoluto nell'origine.

Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle

[pag. 113]

In che relazione sono i punti di massimo relativo con i punti di massimo assoluto?

Se un punto e' di massimo assoluto, allora e' anche di massimo relativo; il viceversa non vale, cioe' esistono punti di massimo relativo che non sono punti di massimo assoluto.

Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange

[pag. 113]

Enunciare e dimostrare il criterio di monotonia

[pag. 115]

Enunciare e dimostrare la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo

[pag. 116]

Come si definisce la derivata seconda di una funzione reale di una variabile reale?

[pag. 95]

Come si definisce una funzione convessa?

[(37.1) pag. 118]

Come si definisce una funzione concava?

[(37.2) pag. 119]

Cosa afferma il criterio di convessita'?

[pag. 119]

Cosa e' una primitiva di una funzione continua?

[pag. 139]

Se una funzione continua ammette almeno una primitiva, cosa si può' dire sul \( numero \,\, \) delle sue primitive?

Sono \( infinite \,\, \) [pag. 139]

Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo

[pag. 139]

Cosa e' l'integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo?

[pag. 141]

Come si esprime, utilizzando la definizione di integrale indefinito, la caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo?

[(45.2) pag. 141]

Scrivere le formule che esprimono la linearita' dell'integrale indefinito

[(45.4) pag. 141, (45.5) pag. 142]

Assegnata una funzione elementare (potenza, esponenziale, trigonometrica), esprimere il calcolo della sua derivata utilizzando la definizione di integrale indefinito

[(45.6) - (45.13) pag. 142]

Determinare \(\displaystyle\int {\rm sen}^3x {\rm cos}xdx\, \)

\(\displaystyle{{\rm sen}^4x\over 4}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int {\rm cos}^7x {\rm sen}xdx\, \)

\(-\displaystyle{{\rm cos}^8x\over 8}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm tg}x\over {\rm cos}^2x}dx\, \)

\(\displaystyle{{\rm tg}^2x\over 2}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm arcsen}^2x\over \sqrt{1-x^2}}dx\, \)

\(\displaystyle{{\rm arcsen}^3x\over 3}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm arccos}^5x\over \sqrt{1-x^2}}dx\, \)

\(-\displaystyle{{\rm arccos}^6x\over 6}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm arctg}^7x\over 2+2x^2}dx\, \)

\(\displaystyle{{\rm arctg}^8x\over 16}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm log}x\over x}dx\, \)

\(\displaystyle{{\rm log}^2x\over 2}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm log}^3|x|\over x}dx\, \)

\(\displaystyle{{\rm log}^4|x|\over 4}+c\, \)

Determinare \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm sen}x\over {\rm cos}^3x}dx\, \)

La funzione da integrare coincide con quella del terzo esercizio: \(\displaystyle\int \displaystyle{{\rm sen}x\over {\rm cos}^3x}dx= \displaystyle\int \displaystyle{{\rm tg}x\over {\rm cos}^2x}dx= \displaystyle{{\rm tg}^2x\over 2}+c\, \)