\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA

Scrivere l'integrale generale dell'equazione \( y'(x)=g(x) \,\, \)

[(21.3) pag. 91]

Cosa e' un'equazione differenziale (ordinaria) di ordine \( n \,\, \) ?

[(21.31) pag. 97]

Cosa e' un'equazione differenziale (ordinaria) di ordine \( n \,\, \) in forma normale?

[(21.32) pag. 97]

Cosa e' un problema di Cauchy per un'equazione differenziale (ordinaria) del primo ordine in forma normale?

[(21.34) pag. 98]

Come si definisce un'equazione differenziale lineare in forma normale?

[(22.1) pag. 98]

Cosa vuol dire che un'equazione differenziale lineare e' omogenea?

[(22.3) pag. 98]

Un'equazione differenziale lineare deve il termine \( lineare \,\, \) ad un operatore: quale?

[(22.4) pag. 98]

Cosa vuol dire che un operatore \( L \,\, \) e' \( lineare \,\, \) ?

[(22.5) pag. 99]

Assegnata un'equazione differenziale lineare completa, come si definisce l'equazione omogenea associata?

[(22.3) pag. 98]

Enunciare e dimostrare il teorema di rappresentazione dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare

[pag. 99]

Enunciare e dimostrare il teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine

[pag. 100]

Enunciare e dimostrare il teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare (completa) del primo ordine

[pag. 101]

Enunciare e dimostrare il teorema sul problema di Cauchy per un'equazione differenziale lineare (completa) del primo ordine

[pag. 103]

Scrivere la piu' generica equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili

[(29.2) pag. 131]

Risolvere l'equazione (a variabili separabili) \( xy'=1+y^2 \,\, \)

\( y=\ton ( \log |x| + c ) \,\, \)

Risolvere l'equazione (a variabili separabili) \( y'=-x/y \,\, \) e descrivere geometricamente il grafico delle soluzioni

Utilizzando il metodo della separazione delle variabili si ottiene \( x^2+y^2=c \,\, \) e quindi le soluzioni dell'equazione sono le funzioni il cui grafico e' un arco di circonferenza con centro nell'origine.

Scrivere la piu' generica equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea

[(24.2) pag. 104]

Come si definiscono due funzioni \( indipendenti \,\, \) ?

[pag. 104]

Come si definiscono due funzioni \( dipendenti \,\, \) ?

[pag. 104]

Cosa e' una combinazione lineare di due funzioni \( y_1 , y_2 \,\, \)?

E' una funzione del tipo \( c_1y_1+c_2y_2 \,\, \) con \( c_1 , c_2 \,\, \) numeri reali

Perche' una combinazione lineare di due soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine e' ancora una soluzione della stessa equazione?

[(22.6) , (22.7) pag. 99]

Come si definisce il wronskiano di due funzioni \( y_1 , y_2 \,\, \)?

[(24.4) pag. 104]

Enunciare il teorema di caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine

[pag. 105]

Enunciare e dimostrare la condizione sufficiente per l'indipendenza di due funzioni

[pag. 103]

Enunciare e dimostrare il teorema sull'integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine

[pag. 106 e 107]

Enunciare e dimostrare il teorema sul Problema di Cauchy per un' equazione lineare omogenea del secondo ordine

[pag. 107]

Enunciare il teorema sulla Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

[pag. 108]