\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

LE FUNZIONI REALI

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi. Cosa si intende per prodotto cartesiano di \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\)? \( {\it A} \times B=\{ (a,b) : a\in {\it A} , b\in B\,\, \}\,\,\)
Cosa si intende per \( \RR^2\,\,\)? \( \RR^2=\RR\times \RR=\{ (a,b) : a\in \RR , b\in \RR\,\, \}\,\,\)
Cosa si intende per \( \RR^3\,\,\)? \( \RR^3=\RR\times \RR\times \RR=\{ (x,y,z) : x\in \RR , y\in \RR , z\in \RR \,\, \}\,\,\)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi di numeri reali. Cosa si intende per \( funzione \) da \( {\it A} \,\,\) verso \( B\,\,\) ? [pag. 18]
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Cosa vuol dire che \( f \) e' una funzione reale di una variabile reale? Vuol dire che \( {\it A} \subset \RR\,\,\) (perche' e' di una \( variabile\,\) \(\,reale \,\) ) e \( B\subset \RR\,\,\) (perche' e' una \( funzione\,\) \(\,reale \,\) )
Sia \( f\,\, \) una funzione reale di una variabile reale definita in \( {\it A} \,\,\) . Cosa e' il grafico di \( f \) ? E' l'insieme \( \{ (x,y)\in \RR^2 : x\in {\it A} \,\, {\rm e} \,\, y=f(x) \} \,\,\)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Cosa e' il codominio di \( f\,\, \) ? E' il sottoinsieme di \( B\,\,\) costituito dai valori che la funzione \( f\,\, \) assume in \( {\it A} \,\,\). Tale insieme si denota con il simbolo \( f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce il \( massimo \) di \( f\,\, \) ? E' il massimo del codominio: \( \max f = \max f( {\it A} )\,\,\). Poiche' esistono insiemi non dotati di massimo, esistono anche funzioni non dotate di massimo.
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce il \( minimo \) di \( f\,\, \) ? E' il minimo del codominio: \( \min f = \min f( {\it A} )\,\,\). Poiche' esistono insiemi non dotati di minimo, esistono anche funzioni non dotate di minimo.
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce l' \( estremo\,\, \) \( superiore\,\, \) di \( f\,\, \) ? E' l'estremo superiore del codominio: \( \sup f = \sup f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce l' \( estremo\,\, \) \( inferiore\,\, \) di \( f\,\, \) ? E' l'estremo inferiore del codominio: \( \inf f = \inf f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata superiormente? Vuol dire che il codominio e' limitato superiormente, cioe' che esiste un maggiorante del codominio di \( f\,\, \)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata inferiormente? Vuol dire che il codominio e' limitato inferiormente, cioe' che esiste un minorante del codominio di \( f\,\, \)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata? Vuol dire che il codominio e' un insieme limitato, cioe' e' un insieme limitato sia superiormente che inferiormente
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) e sia \( M=\max f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( M\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( \exists \,\, x_M\in {\it A} : M=f(x_M) \) \cr & \( f(x)\le M \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) e sia \( m=\min f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( m\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( \exists \,\, x_m\in A : m=f(x_m) \) \cr & \( f(x)\ge m \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) limitata superiormente e sia \( S=\sup f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( S\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( f(x)\le S \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) \cr & \( \forall \,\, \epsilon > 0 \,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, S-\epsilon < f(x) \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) limitata inferiormente e sia \( s=\inf f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( s\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( f(x)\ge s \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) \cr & \( \forall \,\, \epsilon > 0 \,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, s+\epsilon > f(x) \) }\,\,\)
Quale proprieta' caratterizza le funzioni reali \( f\,\, \) definite in un insieme \( {\it A} \,\,\) e non limitate superiormente? \( \forall \,\, M \in \RR \,\,\,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, f(x) \) \( > \) \(M \)
Quale proprieta' caratterizza le funzioni reali \( f\,\, \) definite in un insieme \( {\it A} \,\,\) e non limitate inferiormente? \( \forall \,\, m \in \RR \,\,\,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, f(x) \) \( < \) \(m \)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Cosa vuol dire che \( f \) e' una funzione invertibile? [pag. 20]
Siano \( {\it A} \subset \RR\,\,\) e \( B\subset \RR\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) una funzione invertibile. Di quale proprieta' gode il grafico di \( f \,\,\) ? Ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico in al piu' un punto
Come si definisce l'inversa di una funzione invertibile? [pag. 21]
Definizione di funzione crescente, decrescente, strettamente crescente, strettamente decrescente, monotona, strettamente monotona [pag. 22]
Le funzioni (reali di una variabile reale) invertibili sono monotone? non necessariamente: cfr. esempio (8.6) pag. 24
Le funzioni (reali di una variabile reale) monotone sono invertibili? non necessariamente: basta considerare ad esempio le funzioni costanti in un intervallo
Definizione di funzione suriettiva Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\). \( f\,\,\) si dice suriettiva se \( B=f( {\it A} )\,\,\), cioe' se \( \,\, \forall y\in B \,\, \exists x\in {\it A} \,\, : \,\, y=f(x) \,\, \)
Che relazione c'e' tra la suriettivita' e l'invertibilita' di una funzione? Le funzioni invertibili sono anche suriettive, mentre il viceversa non vale: ad esempio la funzione \( f:x\in \RR \,\, \to \,\, f(x)=x^2\in [0,+\infty[\,\,\) e' suriettiva ma non invertibile
Dimostrare che una funzione suriettiva e strettamente monotona e' invertibile [pag. 24]
Come si definiscono le funzioni lineari? [pag. 25]
Le funzioni lineari sono monotone? [pag. 25]
Disegnare il grafico della funzione lineare [Figura 2.7 pag. 26]
Le funzioni lineari sono invertibili? \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) e' invertibile se e solo se \( m\neq 0\,\, \)
Qual e' il codominio della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? \( \,\, \RR \,\, \) se \( m\neq 0\,\, \), \( \,\, \{ q \} \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Quali sono il massimo e il minimo della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? Non esistono se \( m\neq 0\,\, \), \( \,\, q \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? Sono rispettivamente \( +\infty \,\, \) e \( -\infty \,\, \) se \( m\neq 0\,\, \), mentre coincidono entrambi con \( \,\, q \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Cosa e' un'equazione nell'incognita \( x\in\RR\,\, \)? E' il problema di determinare l'insieme costituito da tutti i valori reali di \( x\,\, \) che soddisfano una assegnata uguaglianza tra due funzioni di una variabile reale
Cosa e' una disequazione nell'incognita \( x\in\RR\,\, \)? E' il problema di determinare l'insieme costituito da tutti i valori reali di \( x\,\, \) che soddisfano una assegnata disuguaglianza tra due funzioni reali di una variabile reale
Come si definisce il valore assoluto di un numero reale? [(9.4) pag. 25]
Disegnare il grafico della funzione valore assoluto [Figura 2.10 pag. 27]
Quali sono il dominio e il codominio della funzione valore assoluto? Il dominio e' \( \RR \,\, \), il codominio e' \( [0,+\infty[ \,\, \)
Quali sono il massimo, il minimo, l'estremo superiore, l'estremo inferiore della funzione valore assoluto? Inoltre: la funzione valore assoluto e' monotona? e' invertibile? Il massimo non esiste, l'estremo superiore e' \( +\infty \,\, \), il minimo e l'estremo inferiore coincidono con \( 0 \); la funzione valore assoluto non e' monotona, ne' invertibile (tutte le affermazioni derivano dalla conoscenza del codominio e si "leggono" dal grafico)
Enunciare la disuguaglianza triangolare verificata dal valore assoluto \( ||x_1|-|x_2||\, \le \, |x_1+x_2|\, \le \, |x_1|+|x_2|\,\,\,\forall \, x_1, \, x_2 \, \in \RR \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente naturale? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente naturale si definisce per ogni base reale; dato \( n \, \in \NN \,\, \), si pone \( a^n = a\, \) moltiplicato per se' stesso \( n \,\, \) volte, \( \forall \, a \, \in \RR \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente intero negativo? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente intero negativo si definisce per ogni base reale non nulla; dato \( n \, \in \NN \,\, \), si pone \( a^{-n} = {1\over a^{n}}\, \) \( \forall \, a \, \in \RR - \{ 0 \} \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente uguale al reciproco di un numero naturale maggiore di \( 1\,\, \)? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente del tipo \( {1\over n} \,\, \) con \( n \, \in \NN \,\, \), \( n>1 \,\, \) si definisce per ogni base reale non negativa; dato \( n \, \in \NN \,\, \), \( n>1 \,\, \), si pone \( a^{1/n} =\, \) unico numero reale non negativo che elevato alla \( n \,\, \) e' uguale ad \( a \,\, \), \( \forall \, a\ge 0 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente razionale positivo non intero, che non coincida con il reciproco di un numero naturale? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente del tipo \( {m\over n} \,\, \) con \( m,n \, \in \NN \,\, \), \( {m\over n} \,\, \) ridotta ai minimi termini, \( m,n>1 \,\, \), si definisce per ogni base reale non negativa; si pone \( a^{m/n} = (a^{1/n})^m\,\, \) \( \forall \, a\ge 0 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente razionale negativo non intero? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente del tipo \( -{m\over n} \,\, \) con \( m,n \, \in \NN \,\, \), \( {m\over n} \,\, \) ridotta ai minimi termini, \( n>1 \,\, \), si definisce per ogni base reale positiva; si pone \( a^{-m/n} = \,\, \) reciproco di \( a^{m/n} \,\, \) \( \forall \, a > 0 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente irrazionale positivo? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente \( b \,\, \) irrazionale positivo si definisce per ogni base reale non negativa; si pone \( a^{b} = \sup \{ a^q : q\in \QQ, q < b \}\,\, \) se \( \, a \ge 1 \,\, \); \( a^{b} = \inf \{ a^q : q\in \QQ, q < b \}\,\, \) se \( \, 0 < a < 1 \,\, \); \( a^{b} = 0\,\, \) se \( \, a = 0 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente irrazionale negativo? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente \( b \,\, \) irrazionale negativo si definisce per ogni base reale positiva; si pone \( a^{b} = \,\, \) reciproco di \( a^{-b} \,\, \) \( \forall \, a > 0 \,\, \)
Quali sono le (principali) proprieta' delle potenze? \( a^b a^c = a^{b+c}\,\,\), \( (a^b)^c = a^{bc}\,\,\), \( (xy)^b=x^b y^b\,\,\)
Disegnare i grafici della funzione potenza e della funzione radice [Figura 2.11 pag. 27, figura 2.12 pag. 28, figura 2.13 pag. 29]
Dimostrare che la funzione potenza con esponente naturale e' strettamente crescente in \( [0,+\infty [\,\, \) [pag. 10]
Fissato \( n\in \NN\,\, \), per quali valori di \( x\,\, \) si definisce la funzione radice ennesima? Ed in che modo si definisce la funzione radice ennesima? In cosa differisce la definizione di funzione radice ennesima da quella della funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \)? Se \( n\in \NN\,\, \) e' pari, la radice ennesima di \( x\,\, \) si definisce per \( x\ge 0\,\, \); se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, la radice ennesima di \( x\,\, \) si definisce per \( x\in\RR\,\, \). Se \( n\in \NN\,\, \) e' pari, la funzione radice ennesima si definisce come l'inversa della restrizione della funzione potenza ennesima all'intervallo \( [0,+\infty[\,\, \); se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, la funzione radice ennesima si definisce come l'inversa della funzione potenza ennesima (che, definita in tutto \( \RR\,\, \), e' invertibile). Se \( n\in \NN\,\, \) e' pari, la radice ennesima di \( x\,\, \) coincide con la funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \); se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, la radice ennesima di \( x\,\, \) coincide con la funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \) solo per \( x\ge 0\,\, \), ma ha significato anche se \( x\,\, \) e' negativo. La definizione di funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \) non viene data se la base e' negativa (sia se \( n\,\, \) e' pari, sia se \( n\,\, \) e' dispari) perche' altrimenti si definirebbero potenze che non verificano le proprieta' delle potenze: basta riflettere ad esempio sull'uguaglianza \( (-1)^{1/3} = [(-1)^2]^{1/6}\,\,\)
Risolvere l'equazione \( x^2=3\,\, \) \( \{-\sqrt{3}, \sqrt{3} \} \,\, \)
Risolvere la disequazione \( x^3 < 5 \,\, \) \( ]-\infty , 5^{1/3}[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{x} < 7 \,\, \) \( [0 , 49[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{x} > -3 \,\, \) \( [0 , +\infty[ \,\, \)
Come si definisce la funzione polinomio di secondo grado? Dati \( a,b,c\in \RR \,\, \), \( a\neq 0\,\, \), la funzione \( f(x)=ax^2+bx+c \,\, \) si dice polinomio di secondo grado
Risolvere la disequazione \( x^2-5x+6 \leq 0 \,\, \) \( [2 , 3] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( x^2-5x+6 \geq 0 \,\, \) \( ]-\infty, 2] \bigcup [3, +\infty[ \,\, \)
Risolvere l' equazione \( x^2+6 = 0 \,\, \) \( \emptyset \,\, \)
Risolvere l' equazione \( (x+1)^2 = 0 \,\, \) \( \{ -1\,\} \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR \,\, \) del punto \( x\,\, \) dall'origine \( |x| \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR^2 \,\, \) del punto \( (x,y)\,\, \) dall'origine \( \sqrt{x^2+y^2} \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR^3 \,\, \) del punto \( (x,y,z)\,\, \) dall'origine \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \,\, \)
Dati \( a,b\in \RR \,\, \), scrivere quanto e' la loro distanza \( |a-b| \,\, \)
Dati \( (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\RR^2\,\, \) scrivere quanto e' la loro distanza \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \,\, \)
Dati \( (x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)\in\RR^3\,\, \) scrivere quanto e' la loro distanza \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \,\, \)
Come si definisce la funzione esponenziale? [(9.9)pag. 29]
In quale insieme e' definita la funzione esponenziale? \( \RR \,\, \)
Qual e' il codominio della funzione esponenziale? \( ]0,+\infty[ \,\, \)
Disegnare il grafico della funzione esponenziale [Figura 2.14 pag. 30, Figura 2.15 pag. 31]
Come si definisce la funzione logaritmo? [pag. 31]
Disegnare il grafico della funzione logaritmo [Figura 2.16 pag. 32]
In quale insieme e' definita la funzione logaritmo? \( ]0,+\infty[ \,\, \)
Qual e' il codominio della funzione logaritmo? \( \RR \,\, \)
Risolvere la disequazione \( e^x \geq 1 \,\, \) \( [0, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log_{3/5} x \geq -1 \,\, \) \( ]0, 5/3] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( e^x \geq 0 \,\, \) \( \RR \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x > 0 \,\, \) \( ]1, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x < 0 \,\, \) \( ]0, 1[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log_{7/4} x \geq -2 \,\, \) \( [(7/4)^{-2}, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 5^x < 9 \,\, \) \( ]-\infty , \log_5 9[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x < 1 \,\, \) \( ]0, e[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log (2x+1) < 1 \,\, \) \( ]-1/2, (e-1)/2 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log (3x+5) \ge 0 \,\, \) \( [-4/3, +\infty [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 4^x-4 < 0 \,\, \) \( ]-\infty , 1 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 3^x+2 > 0 \,\, \) \( \RR \,\, \)
Come si definisce il numero \( \pi \,\, \)? E' il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza nel piano e il suo diametro (si dimostra che tale rapporto non dipende dalla circonferenza considerata).
Come si definisce la funzione seno? [pag. 34]
Tracciare il grafico della funzione seno [Figura 2.19 pag. 34]
Come si definisce la funzione coseno? [pag. 35]
Tracciare il grafico della funzione coseno [Figura 2.21 pag. 36]
Dato \( x\in \RR \,\, \), il fatto che il punto del piano \( ( \cos x , \son x \,\, ) \,\, \) appartiene alla circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario si esprime attraverso una importante formula che coinvolge le funzioni seno e coseno. Di quale formula si tratta? [(9.17)pag. 36]
Utilizzando le definizioni di seno e coseno, determinare \( \cos (\pi /2) \,\, , \,\, \son (\pi ) \,\, , \,\, \cos (3\pi /2) \,\, , \,\, \son (3\pi /2 ) \,\, \) \( 0 \,\, , 0 \,\, , 0 \,\, , -1 \,\, \)
Come si definisce la funzione tangente? [pag. 37]
Tracciare il grafico della funzione tangente [Figura 2.23 pag. 37]
In che relazione sono \( \son x \,\, \) , \( \,\, x \,\, \) , \( \,\, \ton x \,\, \) se \( 0 < x < \pi / 2 \,\, \) ? [(9.22)pag. 37]
Scrivere il valore delle funzioni seno, coseno, tangente nel punto \( \pi /6 \,\, \) \( 1/2 \,\, , \,\, \sqrt{3} /2 \,\, , \,\, 1/\sqrt{3} \,\, \)
Scrivere il valore delle funzioni seno, coseno, tangente nel punto \( \pi /3 \,\, \) \( \sqrt{3} /2 \,\, , \,\, 1/2 \,\, , \,\, \sqrt{3} \,\, \)
Come si definisce la funzione arcoseno? [pag. 106]
Tracciare il grafico della funzione arcoseno [Figura 6.4 pag. 106]
La funzione arcoseno e' monotona? Si, e' strettamente crescente
Come si definisce la funzione arcocoseno? [pag. 107]
Tracciare il grafico della funzione arcocoseno [Figura 6.5 pag. 107]
Qual e' il dominio della funzione arcocoseno? \( [-1,1] \)
Come si definisce la funzione arcotangente? [pag. 108]
Tracciare il grafico della funzione arcotangente [Figura 6.6 pag. 108]
Esiste il massimo della funzione arcotangente? No, perche' il codominio della funzione arcotangente e' \( ] \, -\pi /2 \, , \, \pi /2 \, [ \) e tale insieme e' privo di massimo.
Qual e' l'estremo superiore della funzione arcotangente? \( \pi /2 \), perche' il codominio della funzione arcotangente e' \( ] \, -\pi /2 \, , \, \pi /2 \, [ \) e l'estremo superiore di tale insieme e' \( \pi /2 \)
Qual e' il dominio della funzione arcotangente? \( \RR \)
Risolvere la disequazione \( \arcson x < \pi /6 \,\, \) \( [-1,1/2 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arccos x \ge -1 \,\, \) \( [-1,1] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arccos x > 0 \,\, \) \( [-1,1[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arcton x > \pi /4 \,\, \) \( ]1, +\infty [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{\arcton ( \log x ) } > 0 \,\, \) \( ]1, +\infty [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{\arcson ( \log x ) } \ge 0 \,\, \) \( [1, e ] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{\arccos ( \log x ) } > 0 \,\, \) \( [1/e, e [ \,\, \)

-------------------- aggiornamento del giorno 4 dicembre 2014 --------------------

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