\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

LE FUNZIONI REALI

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi. Cosa si intende per prodotto cartesiano di \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\)? \( {\it A} \times B=\{ (a,b) : a\in {\it A} , b\in B\,\, \}\,\,\)
Cosa si intende per \( \RR^2\,\,\)? \( \RR^2=\RR\times \RR=\{ (a,b) : a\in \RR , b\in \RR\,\, \}\,\,\)
Cosa si intende per \( \RR^3\,\,\)? \( \RR^3=\RR\times \RR\times \RR=\{ (x,y,z) : x\in \RR , y\in \RR , z\in \RR \,\, \}\,\,\)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi di numeri reali. Cosa si intende per \( funzione \) da \( {\it A} \,\,\) verso \( B\,\,\) ? [pag. 18]
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Se affermo che \( f \) e' una funzione reale di una variabile reale, quali sono le proprieta' di \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\)? Risulta \( {\it A} \subset \RR\,\,\) (perche' \( f \) e' funzione di \(\,una \,\) \( variabile\,\) \(\,reale \,\) ) e \( B\subset \RR\,\,\) (perche' e' una \( funzione\,\) \(\,reale \,\) )
Sia \( f\,\, \) una funzione reale di una variabile reale definita in \( {\it A} \,\,\) . Cosa e' il grafico di \( f \) ? E' l'insieme \( \{ (x,y)\in \RR^2 : x\in {\it A} \,\, {\rm e} \,\, y=f(x) \} \,\,\)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Cosa e' il codominio di \( f\,\, \) ? E' il sottoinsieme di \( B\,\,\) costituito dai valori che la funzione \( f\,\, \) assume in \( {\it A} \,\,\). Tale insieme si denota con il simbolo \( f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce il \( massimo \) di \( f\,\, \) ? E' il massimo del codominio: \( \max f = \max f( {\it A} )\,\,\). Poiche' esistono insiemi non dotati di massimo, esistono anche funzioni non dotate di massimo.
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce il \( minimo \) di \( f\,\, \) ? E' il minimo del codominio: \( \min f = \min f( {\it A} )\,\,\). Poiche' esistono insiemi non dotati di minimo, esistono anche funzioni non dotate di minimo.
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce l' \( estremo\,\, \) \( superiore\,\, \) di \( f\,\, \) ? E' l'estremo superiore del codominio: \( \sup f = \sup f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\). Come si definisce l' \( estremo\,\, \) \( inferiore\,\, \) di \( f\,\, \) ? E' l'estremo inferiore del codominio: \( \inf f = \inf f( {\it A} )\,\,\).
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata superiormente? Vuol dire che il codominio e' limitato superiormente, cioe' che esiste un maggiorante del codominio di \( f\,\, \)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata inferiormente? Vuol dire che il codominio e' limitato inferiormente, cioe' che esiste un minorante del codominio di \( f\,\, \)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale. Cosa vuol dire che \( f\,\, \) e' limitata? Vuol dire che il codominio e' un insieme limitato, cioe' e' un insieme limitato sia superiormente che inferiormente
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) e sia \( M=\max f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( M\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( \exists \,\, x_M\in {\it A} : M=f(x_M) \) \cr & \( f(x)\le M \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) e sia \( m=\min f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( m\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( \exists \,\, x_m\in A : m=f(x_m) \) \cr & \( f(x)\ge m \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) limitata superiormente e sia \( S=\sup f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( S\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( f(x)\le S \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) \cr & \( \forall \,\, \epsilon > 0 \,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, S-\epsilon < f(x) \) }\,\,\)
Sia \( f\,\, \) una funzione reale definita in un insieme \( {\it A} \,\,\) limitata inferiormente e sia \( s=\inf f\,\, \). Quali proprieta' caratterizzano \( s\,\, \)? \( \,\,\displaystyle\cases{& \( f(x)\ge s \,\,\,\, \forall x\in {\it A} \) \cr & \( \forall \,\, \epsilon > 0 \,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, s+\epsilon > f(x) \) }\,\,\)
Quale proprieta' caratterizza le funzioni reali \( f\,\, \) definite in un insieme \( {\it A} \,\,\) e non limitate superiormente? \( \forall \,\, M \in \RR \,\,\,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, f(x) \) \( > \) \(M \)
Quale proprieta' caratterizza le funzioni reali \( f\,\, \) definite in un insieme \( {\it A} \,\,\) e non limitate inferiormente? \( \forall \,\, m \in \RR \,\,\,\, \exists \,\, x\in {\it A} : \,\, f(x) \) \( < \) \(m \)
Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) . Cosa vuol dire che \( f \) e' una funzione invertibile? [pag. 20]
Definizione di funzione suriettiva Siano \( {\it A} \,\,\) e \( B\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\). \( f\,\,\) si dice suriettiva se \( B=f( {\it A} )\,\,\), cioe' se \( \,\, \forall y\in B \,\, \exists x\in {\it A} \,\, : \,\, y=f(x) \,\, \)
Che relazione c'e' tra la suriettivita' e l'invertibilita' di una funzione? Le funzioni invertibili sono anche suriettive, mentre il viceversa non vale: ad esempio la funzione \( f:x\in \RR \,\, \to \,\, f(x)=x^2\in [0,+\infty[\,\,\) e' suriettiva ma non invertibile
Siano \( {\it A} \subset \RR\,\,\) e \( B\subset \RR\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) una qualunque funzione reale di una variabile reale. Di quale proprieta' gode il grafico di \( f \,\,\) ? Ogni retta parallela all'asse delle ordinate interseca il grafico in al piu' un punto
Siano \( {\it A} \subset \RR\,\,\) e \( B\subset \RR\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\) una funzione invertibile. Di quale proprieta' gode il grafico di \( f \,\,\) ? Ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico in al piu' un punto
Siano \( {\it A} \subset \RR\,\,\) e \( B\subset \RR\,\,\) due insiemi e sia \( f: {\it A} \to B\,\,\). Sia anche assegnato \( y\in \RR\,\,\). Cosa vuol dire \( {\it risolvere} \,\,\) \( {\it in}\,\,\) \( \RR\,\,\) \( {\it l'equazione}\,\,\) \( f(x)=y\,\,\)? Vuol dire che bisogna risolvere il problema di stabilire l'esistenza di valori \( x\in \RR\,\,\) tali che \( f(x)=y\,\,\); di stabilire anche, in caso affermativo, quanti valori di \( x\in \RR\,\,\) esistono ed infine bisogna risolvere il problema di determinare l'insieme di tutti i valori di \( x\in \RR\,\,\) tali che \( f(x)=y\,\,\). E' evidente che se \( y\notin {\it B}\,\,\) allora non esistono valori \( x\in \RR\,\,\) tali che \( f(x)=y\,\,\); e' anche evidente che se esistono valori \( x\in \RR\,\,\) tali che \( f(x)=y\,\,\), allora tali valori appartengono in particolare all'insieme \( {\it A}\,\,\). Infine, se \( f: {\it A} \to B\,\,\) e' invertibile, allora per ogni \( y\in {\it B}\,\,\) esiste una ed una sola soluzione di \( f(x)=y\,\,\)
Come si definisce l'inversa di una funzione invertibile? [pag. 21]
Definizione di funzione crescente, decrescente, strettamente crescente, strettamente decrescente, monotona, strettamente monotona [pag. 22]
Le funzioni (reali di una variabile reale) invertibili sono monotone? non necessariamente: cfr. esempio (8.6) pag. 24
Le funzioni (reali di una variabile reale) monotone sono invertibili? non necessariamente: basta considerare ad esempio le funzioni costanti in un intervallo
Dimostrare che una funzione suriettiva e strettamente monotona e' invertibile [pag. 24]
Come si definiscono le funzioni lineari? [pag. 25]
Le funzioni lineari sono monotone? [pag. 25]
Disegnare il grafico della funzione lineare [Figura 2.7 pag. 26]
Le funzioni lineari sono invertibili? \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) e' invertibile se e solo se \( m\neq 0\,\, \)
Qual e' il codominio della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? \( \,\, \RR \,\, \) se \( m\neq 0\,\, \), \( \,\, \{ q \} \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Quali sono il massimo e il minimo della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? Non esistono se \( m\neq 0\,\, \), \( \,\, q \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore della funzione lineare \( \,\, f(x)=mx+q \,\, \) ? Sono rispettivamente \( +\infty \,\, \) e \( -\infty \,\, \) se \( m\neq 0\,\, \), mentre coincidono entrambi con \( \,\, q \,\, \) se \( m= 0\,\, \)
Come si definisce il valore assoluto di un numero reale? [(9.4) pag. 25]
Disegnare il grafico della funzione valore assoluto [Figura 2.10 pag. 27]
Quali sono il dominio e il codominio della funzione valore assoluto? Il dominio e' \( \RR \,\, \), il codominio e' \( [0,+\infty[ \,\, \)
Quali sono il massimo, il minimo, l'estremo superiore, l'estremo inferiore della funzione valore assoluto? Inoltre: la funzione valore assoluto e' monotona? e' invertibile? Il massimo non esiste, l'estremo superiore e' \( +\infty \,\, \), il minimo e l'estremo inferiore coincidono con \( 0 \); la funzione valore assoluto non e' monotona, ne' invertibile (tutte le affermazioni derivano dalla conoscenza del codominio e si "leggono" dal grafico)
Enunciare la disuguaglianza triangolare verificata dal valore assoluto \( |x_1+x_2|\, \le \, |x_1|+|x_2|\,\,\,\forall \, x_1, \, x_2 \, \in \RR \,\, \)
Risolvere la disequazione \( |x-5|<5 \,\, \) \( ]0,10[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( |x+2|\ge 3 \,\, \) \( ]-\infty,-5] \bigcup [1,+\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( |x-6|<-2 \,\, \) \( \emptyset \,\, \)
Risolvere la disequazione \( |x-12|\ge -3 \,\, \) \( \RR \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente naturale? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente naturale si definisce per ogni base reale; dato \( n \, \in \NN \,\, \), si pone \( a^n = a\, \) moltiplicato per se' stesso \( n \,\, \) volte, \( \forall \, a \, \in \RR \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente intero negativo? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente intero negativo si definisce per ogni base reale non nulla; dato \( n \, \in \NN \,\, \), si pone \( a^{-n} = {1\over a^{n}}\, \) \( \forall \, a \, \in \RR - \{ 0 \} \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente razionale, positivo e non naturale? E come si definisce la potenza in questo caso? con esponente razionale, positivo e non naturale si definisce per ogni base reale non negativa; dati \( m,n \, \in \NN \,\, \) in modo che \( m/n \,\, \), ridotta ai minimi termini, sia tale che \( n>1 \,\, \), si pone \( a^{m/n} =\, \) unico numero reale non negativo che elevato alla \( n \,\, \) e' uguale ad \( a^m \,\, \), \( \forall \, a\ge 0 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente irrazionale positivo? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente \( b \,\, \) irrazionale positivo si definisce per ogni base reale non negativa; si pone \( a^{b} = \sup \{ a^q : q\in \QQ, 0 < q < b \}\,\, \) se \( \, a \ge 1 \,\, \); \( a^{b} = \inf \{ a^q : q\in \QQ, 0 < q < b \}\,\, \) se \( \, 0 \le a < 1 \,\, \)
Per quali basi si definisce la potenza con esponente reale, negativo e non intero? E come si definisce la potenza in questo caso? La potenza con esponente \( b \,\, \) reale, negativo e non intero si definisce per ogni base reale positiva; si pone \( a^{b} = \,\, \) reciproco di \( a^{-b} \,\, \) \( \forall \, a > 0 \,\, \)
Quali sono le (principali) proprieta' delle potenze? \( a^b a^c = a^{b+c}\,\,\), \( (a^b)^c = a^{bc}\,\,\), \( (xy)^b=x^b y^b\,\,\)
Disegnare i grafici della funzione potenza e della funzione radice [Figura 2.11 pag. 27, figura 2.12 pag. 28, figura 2.13 pag. 29]
Dimostrare che la funzione potenza con esponente naturale e' strettamente crescente in \( [0,+\infty [\,\, \) [pag. 10]
Fissato \( n\in \NN\,\, \), per quali valori di \( x\,\, \) si definisce la funzione radice ennesima? Se \( n\in \NN\,\, \) e' pari, la radice ennesima di \( x\,\, \) si definisce per \( x\ge 0\,\, \); se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, la radice ennesima di \( x\,\, \) si definisce per \( x\in\RR\,\, \)
In che modo si definisce la funzione radice ennesima? In cosa differisce la definizione di funzione radice ennesima da quella della funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \)? Se \( n\in \NN\,\, \) e' pari, la radice ennesima di \( x\,\, \) coincide con la funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \); se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, per ogni \( x\in\RR\,\, \) la radice ennesima di \( x\,\, \) si definisce come l'unico numero reale che, elevato alla \( n\,\, \) e' uguale a \( x\,\, \). Se \( n\in \NN\,\, \) e' dispari, la radice ennesima di \( x\,\, \) coincide con la funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \) solo per \( x\ge 0\,\, \), ma ha significato anche se \( x\,\, \) e' negativo. La definizione di funzione potenza con esponente \( 1/n\,\, \) non viene data se la base e' negativa (sia se \( n\,\, \) e' pari, sia se \( n\,\, \) e' dispari) perche' altrimenti si definirebbero potenze che non verificano le proprieta' delle potenze: basta riflettere ad esempio sull'uguaglianza \( (-1)^{1/3} = [(-1)^2]^{1/6}\,\,\)
Come si definisce la funzione polinomio di secondo grado? Siano \( a,b,c\in\RR\,\, \), \( a\neq 0\,\, \). Si dice polinomio di secondo grado la funzione che ad ogni \( x\in\RR\,\, \) associa \( ax^2+bx+c\in\RR\,\, \)
Risolvere l'equazione \( x^2=3\,\, \) \( \{-\sqrt{3}, \sqrt{3} \} \,\, \)
Risolvere la disequazione \( x^3 < 5 \,\, \) \( ]-\infty , 5^{1/3}[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{x} < 7 \,\, \) \( [0 , 49[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \sqrt{x} > -3 \,\, \) \( [0 , +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( x^2-5x+6 \leq 0 \,\, \) \( [2 , 3] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( x^2-5x+6 \geq 0 \,\, \) \( ]-\infty, 2] \bigcup [3, +\infty[ \,\, \)
Risolvere l' equazione \( x^2+6 = 0 \,\, \) \( \emptyset \,\, \)
Risolvere l' equazione \( (x+1)^2 = 0 \,\, \) \( \{ -1\,\} \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR \,\, \) del punto \( x\,\, \) dall'origine \( |x| \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR^2 \,\, \) del punto \( (x,y)\,\, \) dall'origine \( \sqrt{x^2+y^2} \,\, \)
Scrivere quanto e' la distanza in \( \RR^3 \,\, \) del punto \( (x,y,z)\,\, \) dall'origine \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \,\, \)
Dati \( a,b\in \RR \,\, \), scrivere quanto e' la loro distanza \( |a-b| \,\, \)
Come si definisce la funzione esponenziale? [(9.9)pag. 29]
In quale insieme e' definita la funzione esponenziale? \( \RR \,\, \)
Qual e' il codominio della funzione esponenziale? \( ]0,+\infty[ \,\, \)
Disegnare il grafico della funzione esponenziale [Figura 2.14 pag. 30, Figura 2.15 pag. 31]
Come si definisce la funzione logaritmo? [pag. 31]
Disegnare il grafico della funzione logaritmo [Figura 2.16 pag. 32]
In quale insieme e' definita la funzione logaritmo? \( ]0,+\infty[ \,\, \)
Qual e' il codominio della funzione logaritmo? \( \RR \,\, \)
Risolvere la disequazione \( e^x \geq 1 \,\, \) \( [0, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log_{3/5} x \geq -1 \,\, \) \( ]0, 5/3] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( e^x \geq 0 \,\, \) \( \RR \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x > 0 \,\, \) \( ]1, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x < 0 \,\, \) \( ]0, 1[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log_{7/4} x \geq -2 \,\, \) \( [(7/4)^{-2}, +\infty[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 5^x < 9 \,\, \) \( ]-\infty , \log_5 9[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log x < 1 \,\, \) \( ]0, e[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log (2x+1) < 1 \,\, \) \( ]-1/2, (e-1)/2 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log (3x+5) \ge 0 \,\, \) \( [-4/3, +\infty [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \log (x^2-3x+3) \ge 0 \,\, \) \( ]-\infty, 1] \bigcup [2, +\infty [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 4^x-4 < 0 \,\, \) \( ]-\infty , 1 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( 3^x+2 > 0 \,\, \) \( \RR \,\, \)
Cosa e' una circonferenza? Una circonferenza e' un luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di un suo punto dal centro si dice raggio, il doppio si dice diametro (della circonferenza).
Come si definisce la lunghezza di una circonferenza? Si dice lunghezza di una circonferenza l'estremo superiore dell'insieme dei perimetri dei poligoni regolari inscritti (nella circonferenza).
Come si definisce il numero \( \pi \,\, \)? E' il rapporto tra la lunghezza di una (qualunque) circonferenza e il suo diametro (si dimostra che questa definizione e' ben posta, cioe' che tale rapporto non dipende dalla circonferenza considerata).
Come si definisce un arco di circonferenza? Un arco di circonferenza e' ognuna delle due parti di una circonferenza compresa tra due suoi punti distinti, detti estremi dell'arco.
Come si definisce l'origine degli archi della circonferenza con centro l'origine e raggio unitario? E' il punto (1,0).
Come si definisce la funzione seno? Fissato \( x\in \RR \,\, \), si indica con \( {\rm sen} x \,\, \) l'ordinata del punto \( P_x \,\, \) della circonferenza di centro l'origine e raggio \( 1 \,\, \), tale che l'arco di estremi (1,0) e \( P_x \,\, \), percorso in senso antiorario se \( x > 0 \,\, \) e in senso orario se \( x < 0 \,\, \), abbia lunghezza \( |x| \,\, \); se \( x = 0 \,\, \), si pone \( {\rm sen} 0 = 0 \,\, \).
Tracciare il grafico della funzione seno [Figura 2.19 pag. 34]
Come si definisce la funzione coseno? Fissato \( x\in \RR \,\, \), si indica con \( {\rm cos} x \,\, \) l'ascissa del punto \( P_x \,\, \) della circonferenza di centro l'origine e raggio \( 1 \,\, \), tale che l'arco di estremi (1,0) e \( P_x \,\, \), percorso in senso antiorario se \( x > 0 \,\, \) e in senso orario se \( x < 0 \,\, \), abbia lunghezza \( |x| \,\, \); se \( x = 0 \,\, \), si pone \( {\rm cos} 0 = 1 \,\, \).
Tracciare il grafico della funzione coseno [Figura 2.21 pag. 36]
Dato \( x\in \RR \,\, \), il fatto che il punto del piano \( ( \cos x , \son x \,\, ) \,\, \) appartiene alla circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario si esprime attraverso una importante formula che coinvolge le funzioni seno e coseno. Di quale formula si tratta? [(9.17)pag. 36]
Utilizzando le definizioni di seno e coseno, determinare \( \cos (\pi /2) \,\, , \,\, \son (\pi ) \,\, , \,\, \cos (3\pi /2) \,\, , \,\, \son (3\pi /2 ) \,\, \) \( 0 \,\, , 0 \,\, , 0 \,\, , -1 \,\, \)
Come si definisce la funzione tangente? [pag. 37]
Tracciare il grafico della funzione tangente [Figura 2.23 pag. 37]
In che relazione sono \( \son x \,\, \) , \( \,\, x \,\, \) , \( \,\, \ton x \,\, \) se \( 0 < x < \pi / 2 \,\, \) ? [(9.22)pag. 37]
Scrivere il valore delle funzioni seno, coseno, tangente nel punto \( \pi /6 \,\, \) \( 1/2 \,\, , \,\, \sqrt{3} /2 \,\, , \,\, 1/\sqrt{3} \,\, \)
Scrivere il valore delle funzioni seno, coseno, tangente nel punto \( \pi /3 \,\, \) \( \sqrt{3} /2 \,\, , \,\, 1/2 \,\, , \,\, \sqrt{3} \,\, \)
Come si definisce la funzione arcoseno? [pag. 106]
Tracciare il grafico della funzione arcoseno [Figura 6.4 pag. 106]
La funzione arcoseno e' monotona? Si, e' strettamente crescente
Come si definisce la funzione arcocoseno? [pag. 107]
Tracciare il grafico della funzione arcocoseno [Figura 6.5 pag. 107]
Qual e' il dominio della funzione arcocoseno? \( [-1,1] \)
Come si definisce la funzione arcotangente? [pag. 108]
Tracciare il grafico della funzione arcotangente [Figura 6.6 pag. 108]
Esiste il massimo della funzione arcotangente? No, perche' il codominio della funzione arcotangente e' \( ] \, -\pi /2 \, , \, \pi /2 \, [ \) e tale insieme e' privo di massimo.
Qual e' l'estremo superiore della funzione arcotangente? \( \pi /2 \), perche' il codominio della funzione arcotangente e' \( ] \, -\pi /2 \, , \, \pi /2 \, [ \) e l'estremo superiore di tale insieme e' \( \pi /2 \)
Qual e' il dominio della funzione arcotangente? \( \RR \)
Risolvere la disequazione \( \arcson x < \pi /6 \,\, \) \( [-1,1/2 [ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arccos x \ge -1 \,\, \) \( [-1,1] \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arccos x > 0 \,\, \) \( [-1,1[ \,\, \)
Risolvere la disequazione \( \arcton x > \pi /4 \,\, \) \( ]1, +\infty [ \,\, \)

-------------------- aggiornamento del giorno 18 novembre 2015 --------------------

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