GEOMETRIA |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore |
DOMANDA |
RISPOSTA |
| Cosa e' una matrice? | [pag. 75] |
| Come si denota, in una matrice, l'elemento che si trova all'incrocio della riga i-esima con la colonna j-esima? | [pag. 76] |
| Quante colonne ha una matrice di tipo 4x7 ? | 7 |
| Quanti elementi possiede una matrice di tipo 6x4 ? | 24 |
| Quando una matrice si dice quadrata? | Una matrice si dice quadrata se ha lo stesso numero di righe e di colonne |
| Cosa e' l'ordine di una matrice quadrata? | Il numero di righe (o di colonne, visto che coincidono) |
| Cosa e' un vettore riga? | [(20.6) pag. 76] |
| Cosa e' un vettore colonna? | [(20.7) pag. 76] |
| Come si definisce la somma di matrici? | [pag. 77] |
| Come si definisce il prodotto di una matrice per uno scalare? | [pag. 77] |
| Come si definisce la trasposta della matrice \( A=(a_{ij}) \,\, \)? | \( A^T=(a_{ji}) \,\, \) |
| Come si definisce il prodotto righe per colonne tra matrici? | [pag. 77 e seguenti] |
| Come si esprime il generico elemento della matrice che si ottiene come prodotto righe per colonne tra matrici? | [(21.9) pag. 79] |
| Quale condizione sul numero di righe e di colonne deve essere verificata tra due matrici, per poter eseguire il prodotto righe per colonne? | Il numero di colonne della prima matrice deve coincidere con il numero di righe della seconda matrice |
| Quante righe e quante colonne possiede la matrice che si ottiene come prodotto righe per colonne di due matrici? | [(21.10) pag. 79] |
| Il prodotto righe per colonne e' commutativo? | No, nel senso che, anche quando l'operazione e' eseguibile, in generale \( AB \neq BA \,\, \) |
| Il prodotto righe per colonne e' associativo? | Si: \( A(BC) = (AB)C \,\, \) (se e' eseguibile l'operazione del primo o del secondo membro, e' eseguibile anche l'operazione dell'altro membro, e i risultati coincidono) |
| Come si scrive, utilizzando il linguaggio delle matrici, un sistema lineare? | [(25.4) pag. 87] |
| Come si definisce il determinante di una matrice 2x2? | [pag. 79] |
| Come si definisce il determinante di una matrice 3x3? | [pag. 81] |
| Cosa e' il minore complementare di un elemento di una matrice quadrata? | [pag. 82] |
| Cosa e' il complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata? | [pag. 82] |
| Come si puo' esprimere a parole, utilizzando il termine \( complemento \,\, \) \( algebrico \,\, \) , il determinante di una matrice quadrata? | [pag. 83] |
| Come si definisce il determinante di una matrice nxn? | [(24.2), (24.4), (24.5) pagg. 84,85] |
| Quale relazione lega il determinante di una matrice (quadrata) al determinante della matrice che si ottiene scambiando due righe o due colonne? | [(24.7) pag. 85] |
| Quale relazione lega il determinante di una matrice (quadrata) al determinante della matrice che si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di una riga o una colonna per una stessa costante? | [(24.8) pag. 85] |
| Cosa si puo' affermare sul determinante di una matrice che possiede due righe o due colonne proporzionali? | [(24.9) pag. 85] |
| Cosa si puo' affermare sul determinante di una matrice che possiede una riga o una colonna identicamente nulla? | [pag. 86] |
| Quale relazione lega il determinante di una matrice (quadrata) al determinante della matrice che si ottiene aggiungendo, ad una riga, un'altra riga moltiplicata per un numero qualunque? | Sono uguali |
| Quale relazione lega il determinante di una matrice (quadrata) al determinante della matrice che si ottiene aggiungendo, ad una colonna, un'altra colonna moltiplicata per un numero qualunque? | Sono uguali |
| Cosa afferma la formula di Binet? | Se \( A \,\, \) e \( B \,\, \) sono matrici quadrate dello stesso ordine, risulta \( det(AB)=det(A)det(B) \,\, \) |
| Quale relazione lega il determinante di una matrice (quadrata) al determinante della sua trasposta? | Sono uguali |
| Come si calcola il determinante di una matrice diagonale? | Il determinante e' il prodotto degli elementi della diagonale principale |
| Esiste una matrice che, moltiplicata sia a destra che a sinistra per una assegnata matrice quadrata \( A \,\, \) di ordine \( n \,\, \) , sia uguale ad \( A \,\, \)? | Si, e' la matrice quadrata di ordine \( n \,\, \) , detta \( I_n \,\, \) , che possiede tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove |
| Come si esprime la matrice unitaria \( I_n \, \) utilizzando il delta di Kronecker? | \( I_n=(\delta_{ij}) \, \) , dove \( \delta_{ij}=1 \, \) se \( i=j \, \) e \( \delta_{ij}=0 \, \) se \( i\neq j \, \) |
| Perche' ( I_n \,\, \) , moltiplicata sia a destra che a sinistra per una assegnata matrice quadrata \( A \,\, \) di ordine \( n \,\, \) , e' uguale ad \( A \,\, \)? | Posto \( A=(a_{ij}) \,\, \) , risulta \( AI_n=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik}\delta_{kj}\right)=(a_{ij})=A \,\, \) \( I_nA=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{ik}a_{kj}\right)=(a_{ij})=A \,\, \) |
| Quando una matrice quadrata \( A \,\, \) di ordine \( n \,\, \) si dice invertibile? | Quando esiste una matrice \( A^{-1} \,\, \) quadrata di ordine \( n \,\, \), detta inversa di \( A \,\, \) , tale che \( AA^{-1}=A^{-1}A=I_n \,\, \) |
| Come viene detta una matrice quadrata non invertibile? | Viene detta \( singolare \) oppure \( degenere \) |
| Se una matrice quadrata e' invertibile, quante matrici inverse esistono? | La matrice inversa, quando esiste, e' unica |
| Perche' l'inversa di una matrice quadrata, se esiste, e' unica? | Siano \( B,C \, \) matrici tali che \( AB=BA=I_n \, \) e \( AC=CA=I_n. \, \) Risulta \( B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C \, \) |
| L'inversa di una matrice quadrata e' invertibile? | Si, e la sua inversa coincide con la matrice di partenza. Infatti dalla definizione di \( A^{-1} \,\, \) segue che \( A \,\, \) e' una matrice che moltiplicata sia a destra che a sinistra per \( A^{-1} \,\, \) e' uguale all'identita'. |
| Qual e' una condizione necessaria e sufficiente per la invertibilita' di una matrice quadrata? | Il suo determinante deve essere diverso da zero |
| Qual e' un esempio di matrice singolare? | Basta considerare una qualunque matrice con determinante nullo: ad esempio, una qualunque matrice 2x2 con la prima riga nulla. |
| Qual e' il determinante dell'inversa di una matrice invertibile? in base a quale formula si riesce a stabilire il valore di tale determinante? | Risulta \( det (A^{-1}) = 1/det (A) \,\, \) , utilizzando la formula di Binet all'uguaglianza \( AA^{-1}=I_n \,\, \) |
| Perche' il determinante di una matrice invertibile e' diverso da zero? | Utilizzando la formula di Binet all'uguaglianza \( AA^{-1}=I_n \,\, \) risulta \( 1= det I_n = det (AA^{-1}) = (det A) (det A^{-1} ) \, \) e quindi se fosse \( det A=0 \, \) si arriverebbe ad un assurdo |
| Se il determinante di una matrice e' diverso da zero, allora la matrice e' invertibile: perche'? | Posto \( C=(c_{ij}) \,\, \) , dove \( c_{ij}=(-1)^{i+j} \displaystyle\frac{det A_{ji}}{det A} \,\, \) , risulta \( AC=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik}c_{kj}\right) = \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{k+j} \displaystyle\frac{det A_{jk}}{det A}\right)=(\alpha_{ij}) \,\, \) Se \( i=j \,\, \), scrivendo \( i \,\, \) al posto di \( j \,\, \) nell'espressione di \( \alpha_{ij} \,\, \), risulta \( \alpha_{ii}=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{k+i} \displaystyle\frac{det A_{ik}}{det A}=1 \,\, \), mentre se \( i\neq j \,\, \), l'espressione di \( \alpha_{ji} \,\, \) diventa \( \alpha_{ji}= \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{jk} (-1)^{k+i} \displaystyle\frac{det A_{ik}}{det A}= \displaystyle\frac{1}{det A} \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} a_{jk} {det A_{ik}}=0 \,\, \), l'ultima uguaglianza dovuta al fatto che la sommatoria coincide con il calcolo del determinante della matrice ottenuta da \( A=(a_{ij}) \,\, \) sostituendo la i-esima riga con la j-esima riga (quindi al calcolo del determinante di una matrice con due righe uguali). Conclusione: \( \alpha_{ij}=\delta_{ij} \,\, \), da cui segue \( AC=I_n \). Analogamente si prova che \( CA=I_n \), quindi \( C=A^{-1} \) |
| Qual e' un metodo pratico per calcolare la matrice inversa? | Un metodo consiste nello scrivere \( A^{-1} \) nella forma \( A^{-1}=(a_{ij})^{-1}=\displaystyle\frac{1}{det A} \left( (-1)^{i+j} det A_{ij} \right)^T \, \) , ovvero: la matrice inversa e' la trasposta della matrice dei complementi algebrici, moltiplicata per \( \displaystyle\frac{1}{det A} \, \) |
| Come si definisce un sistema lineare di \( n \,\, \) equazioni in \( n \,\, \) incognite? | [(26.1) pag. 88] |
| Enunciare il teorema di Cramer | Dato il sistema lineare di \( n \,\, \) equazioni in \( n \,\, \) incognite scritto in forma matriciale \( AX=B \,\, \) (vedere notazione (26.2) pag. 88), se \( det A\neq 0 \,\, \) allora \( \exists ! X : AX=B \,\, \) e risulta \( X=A^{-1}B \,\, \), cioe' \( x_1= \displaystyle\frac{det B_1}{det A}\,\, \), \( x_2= \displaystyle\frac{det B_2}{det A}\,\, \), ... , \( x_n= \displaystyle\frac{det B_n}{det A}\,\, \), dove \( B_j \, \) e' la matrice ottenuta da \( A \, \) sostituendo la colonna j-esima con la colonna \( B \, \) dei termini noti. |
| Dimostrare il teorema di Cramer | Osserviamo innanzi tutto che dall'ipotesi \( det A\neq 0 \,\, \) segue che \( A \, \) e' invertibile. Se \( X \,\, \) e' tale che \( AX=B \,\, \), risulta \( X=I_nX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}B\,\, \), e d'altra parte ovviamente \( X=A^{-1}B\,\, \) verifica \( AX=B \,\, \). Risulta \( X=A^{-1}B=\left( (-1)^{i+j} \displaystyle\frac{det A_{ji}}{det A} \right)(b_{i1})=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} \displaystyle\frac{det A_{ki}}{det A}b_{k1} \right) \,\, \), quindi ad esempio \( x_1=\displaystyle\frac{1}{det A}\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}b_{k1} det A_{k1}= \displaystyle\frac{1}{det A}\displaystyle\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}b_{i1} det A_{i1}=\displaystyle\frac{det B_1}{det A}\, \), perche' \( B_1 \, \) e' proprio la matrice \( A \, \) con \( b_{i1} \, \) al posto di \( a_{i1} \, \) per ogni \( i=1,\ldots , n \, \) |
| Cosa e' un \( minore \,\, \) di una matrice? | Sia \( A \,\, \) una matrice \( mxn \,\, \) e sia \( p \in \NN \,\, \) , \( 1\le p \le \min (m,n) \,\, \) . Se fissiamo \( p \,\, \) righe e \( p \,\, \) colonne di \( A \,\, \) , gli elementi che si trovano all'incrocio di tali righe e tali colonne formano una sottomatrice quadrata di ordine \( p \,\, \) , il cui determinante si dice \( minore \,\, \) \( di \,\, \) \( ordine \,\, \) \( p \,\, \) |
| Sia \( A \,\, \) una matrice \( mxn \,\, \) e sia \( p \in \NN \,\, \) , \( 1\le p < \min (m,n) \,\, \) . Se tutti i minori di ordine \( p \, \) sono nulli, cosa posso dedurre sui minori di ordine maggiore di \( p \, \)? | Tutti i minori di ordine maggiore di \( p \, \) sono nulli. Infatti, consideriamo un qualunque minore di ordine \( p+1 \, \) e immaginiamo di calcolarlo, ad esempio, sulla prima riga. Tale minore coincide con la somma dei prodotti degli elementi della prima riga per i rispettivi complementi algebrici, che, eventualmente a meno di un segno, coincidono con alcuni minori di ordine \( p \, \) della matrice originaria. Poiche' tutti i minori di ordine \( p \, \) sono nulli, ne segue che tutti i minori di ordine \( p+1 \, \) sono nulli. Lo stesso ragionamento comporta che anche tutti i minori di ordine \( p+2 \, \) (se esistono) sono nulli, quindi in definitiva tutti i minori di ordine maggiore di \( p \, \) sono nulli. |
| Come si definisce il \( rango \,\, \) di una matrice? | Il rango di una matrice \( A \,\, \) di tipo \( mxn \,\, \) (cioe' una matrice qualunque, non necessariamente quadrata) e' il massimo ordine dei minori non nulli |
| Se \( r \,\, \) e' il rango di una matrice \( A \,\, \) , e' vero che esiste un minore di \( A \,\, \) di ordine \( r \,\, \) , non nullo? | Si, perche' per sua definizione e' in particolare un ordine di un minore non nullo. |
| Se \( r \,\, \) e' il rango di una matrice \( A \,\, \) , e' vero che esiste un minore nullo di \( A \,\, \) , di ordine \( r+1 \,\, \) ? | Sia \( A \,\, \) di tipo \( m{\rm x}n \,\, \) . Se \( r = \min (m,n) \,\, \) , allora non esistono minori di \( A \,\, \) , di ordine \( r+1 \,\, \) . Se \( r < \min (m,n) \,\, \) , allora la risposta e' affermativa e si puo' affermare che \( ogni \,\, \) minore di \( A \,\, \) di ordine \( r+1 \,\, \) e' nullo (cosi' come ogni minore di \( A \,\, \) di ordine maggiore di \( r \,\, \) ) |
| Se \( A \,\, \) e' una matrice quadrata di ordine \( n \,\, \) , esiste una relazione tra il suo rango e il suo determinante? | Se il determinante e' diverso da zero, allora il rango di \( A \,\, \) coincide con \( n \,\, \) ; se e' uguale a zero, allora il rango di \( A \,\, \) e' minore di \( n \,\, \) |
| Enunciare il teorema di Rouche' - Capelli | Un sistema lineare (qualunque, con il numero di equazioni non necessariamente coincidente con il numero delle incognite!) e' compatibile (cioe' ammette soluzioni) se e solo se la matrice incompleta ( ovvero la matrice dei coefficienti) e la matrice completa (ovvero la matrice che si ottiene affiancando alla matrice dei coefficienti la colonna dei termini noti) hanno lo stesso rango. |
| Nelle situazioni in cui il teorema di Rouche' - Capelli stabilisce la compatibilita' di un sistema lineare di \( m \,\, \) equazioni in \( n \,\, \) incognite, la matrice completa e la matrice incompleta hanno uno stesso rango \( r \,\, \) . Che significa l'affermazione "Il sistema ammette \( \infty^{n-r} \,\, \) soluzioni ? | Se \( r=n \,\, \) allora esiste uno ed un solo vettore che sia soluzione del sistema (cioe' esiste uno ed un solo valore, per ciascuna delle \( n \,\, \) incognite, che soddisfa ciascuna equazione del sistema). Se \( r < n \,\, \) , i vettori che risolvono il sistema sono infiniti, e dipendono da \( n-r \,\, \) parametri. |
| Nelle situazioni in cui il teorema di Rouche' - Capelli stabilisce la compatibilita' di un sistema lineare di \( m \,\, \) equazioni in \( n \,\, \) incognite, la matrice completa e la matrice incompleta hanno uno stesso rango \( r \,\, \) . Come si risolve il sistema? | Si considera una (qualunque! possono esisterne piu' di una!) sottomatrice \( B \,\, \) della matrice dei coefficienti, di ordine \( r \,\, \), il cui determinante e' diverso da zero. Si considerano solo le \( r \,\, \) equazioni del sistema corrispondenti alle righe di \( B \,\, \) (le altre equazioni, se esistono, possono essere ignorate). Si portano al secondo membro delle equazioni tutti i termini (se ne esistono) contenenti le \( n-r \,\, \) incognite che \( non \,\, \) corrispondono alle colonne di \( B \,\, \) (tali incognite assumono il ruolo dei \( n-r \,\, \) parametri ). Il sistema ottenuto verifica le ipotesi del teorema di Cramer: dalla sua soluzione, che esprime \( r \,\, \) incognite in funzione di \( n-r \,\, \) parametri, si costruiscono tutti i vettori che risolvono il sistema assegnato. |
| Vettori di \( \RR^2 \,\, \) : definizione di vettore nullo, di somma di vettori, di opposto di un vettore, di differenza tra vettori, di prodotto per uno scalare, di prodotto scalare tra vettori, di modulo di un vettore; proprieta' della somma di vettori, del prodotto per uno scalare, del prodotto scalare, formula per il calcolo dell'angolo tra vettori, condizione di ortogonalita', disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. | Consultare le prime sei pagine (senza dimostrazioni) di http://www.mat.uniroma2.it/~gealbis/capitolo1.main.pdf |
| Dimostrare la disuguaglianza triangolare \( | {\bf x} + {\bf y} |\le | {\bf x} | + | {\bf y} | \,\, \) | \( | {\bf x} + {\bf y} |^2 \, \) \( = ( {\bf x} + {\bf y}) \cdot ( {\bf x} + {\bf y}) \, \) \( = {\bf x} \cdot {\bf x} + {\bf x} \cdot {\bf y} + {\bf y} \cdot {\bf x} + {\bf y} \cdot {\bf y}\, \) \( = {\bf x} \cdot {\bf x} + 2{\bf x} \cdot {\bf y} + {\bf y} \cdot {\bf y}\, \) \( \le |{\bf x}|^2 + 2|{\bf x} \cdot {\bf y}| + |{\bf y}|^2\, \) \( = ( | {\bf x} | + | {\bf y} | )^2\,\, \) |
| Calcolare \( (2,1,-2) \cdot (1,0,3) \,\, \) | \( (2,1,-2) \cdot (1,0,3) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 = 2+0-6=-4\,\, \) |
| I vettori di \( \RR^3 \,\, \) : \( (2,-1,1) \,\, \) e \( (3,4,-2) \,\, \) sono ortogonali? | Si, perche' il loro prodotto scalare e' nullo. |
| Determinare l'angolo \( \theta \,\, \) compreso tra i vettori \( (2,0,2)\in \RR^3 \,\, \) e \( (1,1,1/2)\in \RR^3 \,\, \) | Applicando la proprieta' uv = |u||v| \( \cos \theta \,\, \) si ottiene \( \theta = \pi/4\,\, \) |
| Cosa sono i versori? | Sono vettori di modulo unitario |
| Il vettore \( (1/2,1/\sqrt{2},1/2)\in \RR^3 \,\, \) e' un versore? | Si, perche' il suo modulo e' 1 |
| Quali sono i versori fondamentali di \( \RR^2 \,\, \)? Equivalentemente: quali vettori costituiscono la base canonica di \( \RR^2 \,\, \)? | Sono i vettori i \( =(1,0) \,\, \) , \( \, \) j \( =(0,1) \,\, \) |
| Come si esprime un generico vettore di \( \RR^2 \,\, \) tramite i versori fondamentali? | \( ( x,y ) =x \) i \( +y \) j , infatti \( ( x,y ) = ( x,0 ) + ( 0,y ) =x ( 1,0 ) +y ( 0,1 ) =x \) i \( +y \) j |
| Quali sono i versori fondamentali di \( \RR^3 \,\, \)? Equivalentemente: quali vettori costituiscono la base canonica di \( \RR^2 \,\, \)? | Sono i vettori i \( =(1,0,0) \,\, \) , \( \, \) j \( =(0,1,0) \,\, \) , \( \, \) k \( =(0,0,1) \,\, \) |
| Come si esprime un generico vettore di \( \RR^3 \,\, \) tramite i versori fondamentali? | \( ( x,y,z ) =x \) i \( +y \) j \( +z \) k, infatti \( ( x,y,z ) = ( x,0,0 ) + ( 0,y,0 ) + ( 0,0,z ) =x ( 1,0,0 ) +y ( 0,1,0 ) +z ( 0,0,1 ) =x \) i \( +y \) j \( +z \) k |
| Cosa e' una combinazione lineare di due vettori di \( \RR^2 \,\, \)? | Se u e v sono vettori di \( \RR^2 \,\, \) , si dice combinazione lineare di u e v ogni vettore del tipo \( c_1 \) u \( +c_2 \) v con \( c_1 , c_2 \in \RR \) |
| Cosa e' una combinazione lineare di \( k \,\, \) vettori di \( \RR^n \,\, \)? | Se v_1 , ... , v_k sono \( k \,\, \) vettori di \( \RR^n \,\, \) , si dice combinazione lineare di v_1 , ... , v_k ogni vettore del tipo \( c_1 \) v_1 \( +...+c_k \) v_k con \( c_1 , c_2 , ... , c_k\in \RR \) |
| Quando \( k \,\, \) vettori di \( \RR^n \,\, \) v_1 , ... , v_k si dicono linearmente indipendenti ? | I vettori v_1 , ... , v_k si dicono linearmente indipendenti se \( c_1 \) v_1 \( +...+c_k \) v_k \( =0 \Rightarrow c_1=...=c_k=0 \,\, \) |
| Quando \( k \,\, \) vettori di \( \RR^n \,\, \) v_1 , ... , v_k si dicono linearmente dipendenti ? | I vettori v_1 , ... , v_k si dicono linearmente dipendenti quando non sono linearmente indipendenti, cioe' quando esistono \( k \,\, \) costanti \( c_1 , c_2 , ... , c_k\in \RR \) non tutte nulle tali che \( c_1 \) v_1 \( +...+c_k \) v_k \( =0 \,\, \) . In tal caso almeno uno dei vettori v_1 , ... , v_k e' esprimibile come combinazione lineare degli altri. |
| Qual e' la caratterizzazione della lineare dipendenza di \( k \,\, \) vettori di \( \RR^n \,\, \) v_1 , ... , v_k? | I vettori v_1 , ... , v_k sono linearmente dipendenti se e soltanto se almeno uno e' combinazione lineare dei rimanenti. DIM: Se v_1 , ... , v_k sono linearmente dipendenti, esistono \( k \,\, \) costanti \( c_1 , c_2 , ... , c_k\in \RR \) non tutte nulle tali che \( c_1 \) v_1 \( +...+c_k \) v_k \( =0 \,\, \) . Se ad esempio \( c_j\neq 0 \), da tale relazione, portando a secondo membro tutti i termini contenenti \( v_i \) con \( i\neq j \), e dividendo per \( c_j\neq 0 \), si ottiene che \( v_j \) e' combinazione lineare dei rimanenti. Viceversa, se ad esempio \( v_1 \) e' combinazione lineare dei rimanenti, portando a primo membro la relazione che esprime \( v_1 \) come combinazione lineare dei rimanenti, si ottiene una scrittura del tipo \( c_1 \) v_1 \( +...+c_k \) v_k \( =0 \,\, \) con \( c_1 , c_2 , ... , c_k\in \RR \) non tutte nulle (perche' \( c_1=1 \) ). |
| Come si scrive in forma matriciale una combinazione lineare di \( n \, \) vettori di \( \RR^n \,\, \) ? | Dati \( n \, \) vettori colonna di \( \RR^n \,\, \) v_1 , ... , v_n, sia \( A \, \) la matrice di tipo \( n{\rm x}n \,\, \) avente la colonna \( j- \)sima uguale a v_j per ogni \( j=1,\ldots , n \, \). Detto \( X \,\, \) il vettore colonna avente componenti \( x_1,\ldots ,x_n \,\, \), la combinazione lineare di v_1 , ... , v_n avente coefficienti rispettivamente \( x_1,\ldots ,x_n \,\, \) coincide con il prodotto tra matrici \( AX \, \). |
| Qual e' la caratterizzazione, in termini di dipendenza lineare, delle matrici (quadrate) con determinante nullo? | Sia \( A \, \) una matrice quadrata di tipo \( n{\rm x}n \, \). Almeno una riga (o una colonna) di \( A \, \) e' combinazione lineare delle rimanenti SE E SOLO SE Le righe (o le colonne) di \( A \, \) sono linearmente dipendenti SE E SOLO SE \( {\rm det}A=0 \, \). DIM: La prima equivalenza e' gia' nota dalla caratterizzazione della lineare dipendenza. Supponiamo ora che le colonne di \( A \, \) siano linearmente dipendenti. Tale dipendenza lineare, scritta in forma matriciale, equivale all'esistenza di una soluzione non nulla del sistema \( AX={\bf 0} \, \), quindi al fatto che il sistema \( AX={\bf 0} \, \) ammette almeno due soluzioni. Cio' equivale a \( {\rm det}A=0 \, \) e infatti: SE il sistema \( AX={\bf 0} \, \) ammette almeno due soluzioni deve essere \( {\rm det}A=0 \, \) perche' altrimenti, se fosse \( {\rm det}A\neq 0 \, \), per il teorema di Cramer \( AX={\bf 0} \, \) ammetterebbe una ed una sola soluzione, e cio' e' assurdo; VICEVERSA, se \( {\rm det}A=0 \, \), detto \( n \, \) l'ordine di \( A \, \) e detto \( r \, \) il rango di \( A \, \), risulta \( r < n \, \). D'altra parte, essendo il sistema \( AX={\bf 0} \, \) compatibile (perche' ammette la soluzione nulla \( X={\bf 0} \, \) ), per il teorema di Rouche' - Capelli \( r \, \) e' il rango sia della matrice incompleta che della matrice completa, ed il sistema \( AX={\bf 0} \, \) ammette infinite soluzioni (per la precisione \( \infty^{n-r} \, \), ovvero infinite soluzioni che dipendono da \( n-r \, \) parametri). In particolare, dunque, il sistema ammette almeno due soluzioni. Abbiamo quindi dimostrato anche l'ultima equivalenza e il teorema e' cosi' dimostrato. |
| Perche' una matrice quadrata con due righe (o colonne) uguali, oppure piu' in generale proporzionali, oppure con una riga (o colonna) uguale alla somma di altre due ha determinante nullo? | Perche' in tali casi le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti: se ad esempio v_2 =k v_1 si puo' facilmente costruire una combinazione lineare dei vettori v_1 , ... , v_n avente coefficienti non tutti nulli, infatti risulta -k v_1 + v_2 +0 v_3 \( \cdot\cdot\cdot \) +0 v_n = 0; e se ad esempio v_1 = v_2 + v_3 si puo' ancora, facilmente, costruire una combinazione lineare dei vettori v_1 , ... , v_n avente coefficienti non tutti nulli, infatti v_1 - v_2 - v_3 +0 v_4 \( \cdot\cdot\cdot \) +0 v_n = 0 |
| Qual e' la caratterizzazione, in termini di indipendenza lineare, delle matrici (quadrate) con determinante non nullo? | Conseguenza della caratterizzazione, in termini di dipendenza lineare, delle matrici (quadrate) con determinante nullo e' che se \( A \, \) e' una matrice quadrata di tipo \( n{\rm x}n \, \), le righe (o le colonne) di \( A \, \) sono linearmente indipendenti SE E SOLO SE \( {\rm det}A\neq 0 \, \). |
| Siano u \( =(x_1,y_1,z_1)\in \RR^3 \,\, \) , v \( =(x_2,y_2,z_2)\in \RR^3 \,\, \) . Come si definisce il prodotto vettoriale uxv? | \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} =\det\begin{pmatrix} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix} = (y_1z_2- y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1) \) |
| Siano i,j,k i versori fondamentali di \( \RR^3 \,\, \) . Calcolare \( {\bf i} {\rm x} {\bf j} \,\, \) | \( {\bf i} {\rm x} {\bf j} = {\bf k} \) |
| Siano u,v vettori non nulli di \( \RR^3 \,\, \) . Qual e' la direzione di \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \)? | E' la direzione ortogonale al piano determinato da u e v |
| Siano u,v vettori non nulli di \( \RR^3 \,\, \) . Qual e' il verso di \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \)? | E' il verso che si ottiene con la regola della mano destra: se il pollice e' nella direzione di u e l'indice nella direzione di v, il medio fornisce il verso del prodotto \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \) |
| Siano u,v vettori non nulli di \( \RR^3 \,\, \) . Qual e' il modulo di \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \)? | Se u \( =(x_1,y_1,z_1)\in \RR^3 \,\, \) , v \( =(x_2,y_2,z_2)\in \RR^3 \,\, \) , il modulo di \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \) e' ovviamente il modulo del vettore \( (y_1z_2- y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1) \,\, \) , che coincide con il prodotto dei moduli di u e v per il seno dell'angolo da essi formato. Geometricamente tale modulo rappresenta l'area del parallelogramma determinato da u e v |
| Siano u,v vettori di \( \RR^3 \,\, \) . Determinare il prodotto scalare di u per \( {\bf u} {\rm x} {\bf v} \,\, \) | E' nullo, perche' sono vettori ortogonali (se u,v sono entrambi non nulli, altrimenti e' ovvio). |
| Sia u un vettore di \( \RR^3 \,\, \) . Determinare \( {\bf u} {\rm x} {\bf u} \,\, \) | E' il vettore nullo (si vede dalla definizione algebrica, notando che la matrice simbolica possiede due righe coincidenti; si vede geometricamente, dal fatto che il parallelogramma la cui area coincide con il modulo di \( {\bf u} {\rm x} {\bf u} \,\, \) e' degenere. |
| Il prodotto vettoriale e' commutativo? | No. Scambiando l'ordine dei vettori, si ottiene il vettore opposto. Dal punto di vista analitico basta osservare che scambiare l'ordine dei vettori corrisponde a scambiare due righe della matrice simbolica, il che comporta il cambio del segno del determinante. |
| Qual e' l'identita' di Lagrange? | \( | {\bf u} \times {\bf v} |^2= | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2-({\bf u} \cdot {\bf v})^2 \,\, \). DIM: \( | {\bf u} \times {\bf v} |^2 \, \) \(= | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2 {\rm sen}^2{\bf u}{\bf v} \, \) \(= | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2 (1-{\rm cos}^2{\bf u}{\bf v} ) \, \) \(= | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2 - | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2{\rm cos}^2{\bf u}{\bf v} \, \) \( = | {\bf u} |^2 | {\bf v} |^2-({\bf u} \cdot {\bf v})^2 \,\, \) |
| Cosa rappresenta geometricamente il modulo del prodotto misto di u,v,w? | E' il volume del parallelepipedo determinato dai tre vettori |
| Cosa rappresenta geometricamente il determinante di una matrice \( 3{\rm x}3 \, \) ? | Poiche' rappresenta il prodotto misto dei tre vettori dati dalle tre righe (e anche dei tre vettori dati dalle tre colonne), il determinante rappresenta, a meno del segno, il volume del parallelepipedo costruito a partire dai tre segmenti aventi un estremo nell'origine e gli altri estremi uguali alle righe della matrice \( 3{\rm x}3 \, \) (e lo stesso vale per le colonne). |
| Cosa rappresenta geometricamente il determinante di una matrice \( 2{\rm x}2 \, \) ? | Poiche' rappresenta il prodotto misto dei due vettori \( {\bf u},{\bf v} \, \) del piano x,y dati dalle due righe della matrice e del vettore \( {\bf k} \, \), il determinante rappresenta, a meno del segno, il volume del parallelepipedo di altezza 1 costruito a partire dal parallelogramma individuato da \( {\bf u} \, \) e \( {\bf v} \, \), e quindi in definitiva il determinante rappresenta, a meno del segno, l'area del parallelogramma individuato da \( {\bf u} \, \) e \( {\bf v} \, \). Lo stesso vale se \( {\bf u} \, \) e \( {\bf v} \, \) denotano le colonne della matrice assegnata. |
| Perche' il prodotto misto di tre vettori complanari e' nullo? | Geometricamente: il parallelepipedo determinato dai tre vettori e' degenere; si puo' anche osservare che i tre vettori sono linearmente dipendenti e quindi il determinante che definisce il prodotto misto e' nullo. |
| Scrivere l'equazione cartesiana della retta nel piano | \( ax+by+c=0 \,\, \) , con \( a,b,c \, \) numeri reali, \( a,b \, \) non entrambi nulli |
| Quali vettori sono ortogonali alla retta di equazione \( ax+by+c=0 \, \)? | Tutti i vettori proporzionali a \( (a,b) \, \) |
| Quali rette di equazione \( ax+by+c=0 \, \) sono parallele all'asse \( x \, \)? | Quelle con \( a=0 \, \) (e aventi quindi \( b\neq 0 \, \) ) |
| Quali rette di equazione \( ax+by+c=0 \, \) sono parallele all'asse \( y \, \)? | Quelle con \( b=0 \, \) (e aventi quindi \( a\neq 0 \, \) ) |
| Quali rette di equazione \( ax+by+c=0 \, \) passano per l'origine? | Quelle con \( c=0 \, \) |
| Scrivere l'equazione esplicita della retta nel piano | \( y=mx+q \,\, \) , con \( m,q \, \) numeri reali |
| L'insieme delle rette nel piano rappresentabili tramite l'equazione esplicita \( y=mx+q \,\, \) , con \( m,q \, \) numeri reali, coincide con l'insieme di \( tutte \, \) le rette nel piano? | No. Le rette parallele all'asse \( y \, \) non possono essere rappresentate tramite l'equazione \( y=mx+q \,\, \) , con \( m,q \, \) numeri reali. |
| Come si rappresenta una retta nel piano in forma parametrica? | \( \,\,r:\displaystyle\cases{& \( x=x_0+\lambda t \) \cr & \( y=y_0+\mu t \) }\,\,\) |
| Cosa sono i numeri direttori di una retta? | Ogni \( coppia \, \) di numeri \( (\lambda , \mu ) \, \) nella rappresentazione di una retta \( r \, \) in forma parametrica \( \,\,r:\displaystyle\cases{& \( x=x_0+\lambda t \) \cr & \( y=y_0+\mu t \) }\,\,\) si dice coppia di numeri direttori di \( r \, \) . Due coppie di numeri direttori di una stessa retta sono proporzionali, con coefficiente di proporzionalita' numero reale non nullo. |
| Cosa e' un asse? | Una retta orientata |
| Come si rappresenta un asse in forma parametrica? | Con la stessa rappresentazione parametrica della retta, in cui si conviene di fissare il verso delle \( t \, \) crescenti. |
| Cosa sono i numeri direttori di un asse? | Ogni \( coppia \, \) di numeri \( (\lambda , \mu ) \, \) nella rappresentazione di un asse \( {\bf r} \, \) in forma parametrica \( \,\,{\bf r}:\displaystyle\cases{& \( x=x_0+\lambda t \) \cr & \( y=y_0+\mu t \) }\,\,\) si dice coppia di numeri direttori dell'asse \( {\bf r} \, \) . Due coppie di numeri direttori di uno stesso asse sono proporzionali, con coefficiente di proporzionalita' numero reale positivo. |
| Cosa sono i coseni direttori di un asse? | Sono i coseni degli angoli che l'asse forma con gli assi coordinati, che coincidono con \( (\lambda / \sqrt{\lambda^2+\mu^2} , \mu / \sqrt{\lambda^2+\mu^2} ) \, \) dove \( (\lambda , \mu ) \, \) e' una qualunque coppia di numeri direttori dell'asse. Il fatto che i coseni degli angoli che l'asse forma con gli assi coordinati coincidono con \( (\lambda / \sqrt{\lambda^2+\mu^2} , \mu / \sqrt{\lambda^2+\mu^2} ) \, \) si dimostra facilmente. Dimostriamo ad esempio che il coseno dell'angolo che l'asse determinato da \( (\lambda , \mu ) \, \) forma con l'asse delle \( x \, \) e' proprio \( \lambda / \sqrt{\lambda^2+\mu^2} \, \). Calcoliamo il prodotto scalare \( (\lambda , \mu )\cdot {\bf i} \, \) in due modi. Utilizzando la definizione di prodotto scalare risulta \( (\lambda , \mu )\cdot {\bf i}=(\lambda , \mu )\cdot (1,0)=\lambda \, \) mentre utilizzando la rappresentazione del prodotto scalare in funzione dell'angolo compreso tra i due vettori risulta \( (\lambda , \mu )\cdot {\bf i}=|(\lambda , \mu )|\cdot |{\bf i}|{\rm cos}(\lambda , \mu ){\bf i}= \sqrt{\lambda^2+\mu^2}{\rm cos}(\lambda , \mu ){\bf i} \, \) e dall'uguaglianza dei secondi membri segue l'asserto. |
| Date le rette \( ax+by+c=0 \, \) , \( a'x+b'y+c'=0 \, \) , la condizione di parallelismo si puo' esprimere tramite il calcolo di un determinante, quale? | \( \det\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} = 0 \) |
| Date le rette \( ax+by+c=0 \, \) , \( a'x+b'y+c'=0 \, \) , la condizione di perpendicolarita' si puo' esprimere tramite il calcolo di un prodotto scalare, quale? | \( (a,b)\cdot(a',b') = 0 \) |
| Se due rette nel piano sono assegnate in forma esplicita, qual e' la condizione di parallelismo? | Le rette hanno i coefficienti angolari coincidenti |
| Se due rette nel piano sono assegnate in forma esplicita, qual e' la condizione di perpendicolarita'? | Il prodotto dei coefficienti angolari e' -1 |
-------------------- aggiornamento del giorno 26 gennaio 2016-------------------- |
----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----
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