\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

INTEGRALI DEFINITI

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore (seconda edizione, maggio 2002)

(chi e' in possesso della prima edizione deve sottrarre 24 al numero di pagina indicato nelle risposte)

DOMANDA

RISPOSTA

Come si definisce l'integrale definito di una funzione?

[pag. 509 fino a 512, senza il lemma di pag. 510]

Come si definisce il rettangoloide di una funzione non negativa?

[(114.1)pag. 496]

Come si definisce il rettangoloide di una funzione non positiva?

[(114.2)pag. 496]

Che relazione c'e' tra l'integrale definito di una funzione continua non negativa e l'area del rettangoloide?

[(114.6)pag. 497]

Che relazione c'e' tra l'integrale definito di una funzione continua non positiva e l'area del rettangoloide?

[(114.7)pag. 497]

Determinare con considerazioni geometriche il valore dell'integrale \( \quad \displaystyle\int_0^{2\pi} \son x \, dx\,\, \)

[(114.9)pag. 498]

Enunciare il teorema di integrabilita' delle funzioni continue

[pag. 519]

Enunciare la proprieta' di additivita' degli integrali definiti

[pag. 514]

Enunciare la proprieta' di linearita' degli integrali definiti

[pag. 514]

Enunciare la proprieta' del confronto degli integrali definiti

[pag. 516]

Enunciare e dimostrare il teorema della media

[pag. 500]

Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale

[pag. 526]

Enunciare e dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale

[pag. 528]

Verificare che l'area del triangolo rettangolo avente cateti di lunghezza \( a\,\, \) e \( b\,\, \) ha area \( ab/2\,\, \)

Il triangolo in questione e' il rettangoloide di base \( [0,b]\,\, \) della funzione lineare \( y=(a/b)x\,\, \). Risulta \( \quad \displaystyle\int_0^{b} {a\over b} x \, dx\,\, = \,\, {a\over b}\,\, \displaystyle\int_0^{b} x \, dx = \,\, {a\over b}\,\, \left[ {x^2\over 2} \right]^b_0 = \,\, {a\over b} {b^2\over 2} = \,\, {ab\over 2} \)

Calcolare l'integrale definito \( \quad \displaystyle\int_0^{\pi} \son x \, dx\,\, \)

[(124.10)pag. 529]

Calcolare l'integrale definito \( \quad \displaystyle\int_0^1 e^x \, dx\,\, \)

\( \quad \displaystyle\int_0^1 e^x \, dx\,\, = \,\, \left[ e^x \right]^1_0 = \,\, e-1 \)

Calcolare l'integrale definito \( \quad \displaystyle\int_1^e \log x \, dx\,\, \)

\( \quad \displaystyle\int_1^e \log x \, dx\,\, = \,\, \left[ x\log x - x \right]^e_1 = \,\, (e\log e - e)-(1\log 1 - 1) = \,\, (e\cdot 1 - e)-(1\cdot 0 - 1) = (e - e)-(0 - 1) = 1\)

Esprimere il volume di un solido \( V \) che occupa una regione dello spazio ordinario a tre dimensioni, in funzione dell'area \( A(x) \) delle sezioni effettuate rispetto a piani perpendicolari all'asse \( x \)

[(131.2)pag. 549]

Determinare il volume di una sfera di raggio \( r \)

[(131.3)pag. 549]

-------------------- aggiornamento del 14 ottobre 2014 --------------------