INTEGRALI INDEFINITI |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori Editore (seconda edizione, maggio 2002) |
(chi e' in possesso della prima edizione deve sottrarre 24 al numero di pagina indicato nelle risposte)
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DOMANDA |
RISPOSTA |
| Enunciare e dimostrare la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo | [pag. 408] |
| Sia \( f \) una funzione continua in un intervallo. Cosa si intende per \( primitiva \) di \( f \)? | [pag. 527] |
| Come si esprime, utilizzando il termine \( primitiva \), l'uguaglianza \( D(x^5)=5x^4 \)? | \(x^5\) e' una primitiva di \(5x^4\) |
| Sia \( F \) una primitiva di una funzione \( f \). Come conseguenza del fatto che la derivata delle funzioni costanti e' identicamente nulla, possiamo dire che le funzioni di un certo tipo sono sicuramente primitive di \( f \). Di quali funzioni si tratta? | Si tratta delle funzioni del tipo \( F+c \) con \( c\in R \) |
| Sia \( F \) una primitiva di una funzione \( f \). Le funzioni del tipo \( F+c \) con \( c\in R \) rappresentano \( tutte \) le primitive di \( f \)? | Dipende dall'insieme di definizione di \( f \): se e' un intervallo, la risposta e' affermativa. |
| Enunciare e dimostrare la caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo | [pag. 527] |
| Sia \( f \) una funzione continua in un intervallo. Definire l' \(integrale\) \(indefinito\) di \( f \). | [pag. 529] |
| Sia \( f \) una funzione continua in un intervallo e sia \( F \) una sua primitiva. Esprimere la caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo tramite una formula contenente l'integrale indefinito di \( f \) | [(125.2) pag. 529] |
| Scrivere le formule che esprimono la linearita' dell'integrale indefinito | [(125.4) e (125.5) pag. 530] |
| Scrivere la tabella degli integrali indefiniti fondamentali, tenendo presente che i primi membri sono gli integrali di \( x^b \), caso \( b\neq -1 \) e caso \( b=1 \), \( e^x \), sen \( x \), cos \( x \) e le derivate della funzione tangente, arcoseno e arcotangente. | [formule da (125.6) a (125.13) pag. 530] |
| Dimostrare la validita' dell'uguaglianza \(\quad \displaystyle\int 2xdx=x^2+c\,\, \) | L'uguaglianza e' vera perche' \( D(x^2)=2x \) (oppure si puo' dire: per ogni costante reale \( c \) risulta \( D(x^2+c)=2x \) ) e perche' (ci vuole anche questa seconda parte, che rappresenta l'altra inclusione!), per la caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo, ogni altra primitiva di \( 2x \) e' necessariamente del tipo \( x^2+c\,\, \). Quando si risolvono gli esercizi, naturalmente, lo scopo e' unicamente quello di scrivere il risultato corretto: dunque diventa sufficiente fare solo la verifica \( D(x^2)=2x \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {\rm sen}^5 x {\rm cos} x\,dx \) | \( \displaystyle {{\rm sen}^6 x\over 6}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {\rm cos}^7 x {\rm sen} x\,dx \) | \( \displaystyle -{{\rm cos}^8 x\over 8}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {{\rm log} x\over x}\,dx \) | \( \displaystyle {{\rm log}^2 x\over 2}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x\sqrt{{\rm log} x}}\,dx \) | \( \displaystyle 2\sqrt{{\rm log} x}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {\sqrt{{\rm tg} x}\over {\rm cos}^2 x}\,dx \) | \( \displaystyle {2\sqrt{{\rm tg}^3 x}\over 3}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {{\rm arctg} x\over 1+x^2}\,dx \) | \( \displaystyle {1\over 2}{\rm arctg}^2 x+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {{\rm arcsen}^2 x\over \sqrt{1-x^2}}\,dx \) | \( \displaystyle {1\over 3}{\rm arcsen}^3 x+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {2x\over x^2+1}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} (x^2+1)+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int \ton x\,dx \) | \( -\displaystyle {\rm log} |\cos x|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over \sqrt{1-x^2}\arcson x}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |\arcson x|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x\log x}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |\log x|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over \cos^2x\ton x}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |\ton x|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over \son x\cos x}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |\ton x|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {2x-3\over x^2-3x+7}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |x^2-3x+7|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int e^{\son x}\,\cos x \,dx \) | \( \displaystyle e^{\son x}+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int x\,\cos (x^2) \,dx \) | \( \displaystyle {1\over 2}\son (x^2)+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x\, \cos^2(\log x)}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm tg} (\log x)+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {e^x\over 1+e^{2x}}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm arctg} (e^x)+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {e^{2x}\over 1+e^{2x}}\,dx \) | \( \displaystyle \frac12 \, {\rm log} (1+e^{2x})+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {3\over 5x-1}\,dx \) | \( \displaystyle \frac35 \, {\rm log} |5x-1|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {8x-3\over 4x+1}\,dx \) | \( \displaystyle 2x - \frac54 \, {\rm log} |4x+1|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {x\over x+1}\,dx \) | [pag. 532] |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over 3+x^2}\,dx \) | \( \displaystyle \frac1{\sqrt{3}} \, {\rm arctg} \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) +c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over 2+5x^2}\,dx \) | \( \displaystyle \frac1{\sqrt{10}} \, {\rm arctg} \left(\sqrt{\frac{5}{2}}x\right) +c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {4\over 1+7x^2}\,dx \) | \( \displaystyle \frac4{\sqrt{7}} \, {\rm arctg} \left(\sqrt{7}x\right) +c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x^2+2x+3}\,dx \) | \( \displaystyle \frac1{\sqrt{2}} \, {\rm arctg} \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right) +c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x^2+x+6}\,dx \) | \( \displaystyle \frac2{\sqrt{23}} \, {\rm arctg} \left(\frac{2x+1}{\sqrt{23}}\right) +c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over 4x^2+4x+1}\,dx \) | \( \displaystyle -\frac1{4x+2} + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over x^2-6x+9}\,dx \) | \( \displaystyle \frac1{3-x} + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over (x-2)(x+3)}\,dx \) | \( \displaystyle \frac15 \left( \log |x-2| - \log |x+3| \right) + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {x+7\over x^2-x-2}\,dx \) | [pag. 536] |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {2x-5\over x^2-5x+6}\,dx \) | \( \displaystyle {\rm log} |x^2-5x+6|+c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {3x-2\over x^2+x-6}\,dx \) | \( \displaystyle \frac15 \left( 4\log |x-2| +11\log |x+3| \right) + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1-2x\over x^2+2x+5}\,dx \) | [pag. 537] |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {x\over x^2+x+1}\,dx \) | [pag. 538] |
| Scrivere la formula di integrazione per parti | [pag. 539] |
| Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti | [pag. 539] |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int \log x\,dx \) | \( \displaystyle x \log x - x + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int x\,e^x\,dx \) | \( \displaystyle x\,e^x\, - \,e^x\, + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int x\, \cos x\,dx \) | \( \displaystyle x\, \son x\, + \, \cos x\, + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int \arcton x\,dx \) | \( \displaystyle x\, \arcton x\, - \, \frac{1}{2} \log (1+x^2)\, + c \) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int \arcson x\,dx \) | \( \displaystyle x\, \arcson x\, + \, \sqrt{1-x^2}\, + c \) |
| Scrivere la formula di integrazione per sostituzione | [pag. 541] |
| Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per sostituzione | [pag. 541] |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {\son \sqrt{x}\over \sqrt{x}}\,dx \) | \( -2 \cos \sqrt{x}\, + c\) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {1\over 1+e^x}\,dx \) | \( x-\log (1+e^x)\, + c\) |
| Calcolare \(\quad \displaystyle\int {x\over \sqrt{1-x}}\,dx \) | \( -2\sqrt{1-x}+{2\over 3} \sqrt{(1-x)^3}\, + c\) |
-------------------- aggiornamento del 7 ottobre 2014 -------------------- |
----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----
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