\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

LIMITI DI FUNZIONI, FUNZIONI CONTINUE

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA

Come si definisce il limite di una funzione reale di una variable reale, nel caso di funzioni definite in unioni finite di intervalli?

[pag. 61]

Esiste il limite di \( f(x)=1/x \,\, \) per \( x\to 0 \,\, \)?

No, perche' esistono due successioni \( (x_n) \,\, \), per esempio \( (1/n) \,\, \) e \( (-1/n) \,\, \) , tali che le corrispondenti successioni \( (f(x_n)) \,\, \) abbiano limiti distinti

Perche' \( \son x \,\, \) tende a zero per \( x \,\, \) che tende a zero?

[(15.11) pag. 62 e (13.22) pag. 54]

Perche' \( \cos x \,\, \) tende a uno per \( x \,\, \) che tende a zero?

[(15.11) pag. 62 e (13.23) pag. 54]

Perche' \( \son x / x\,\, \) tende a uno per \( x \,\, \) che tende a zero?

[(15.10) pag. 61 e (13.26) pag. 54]

Qual e' l'enunciato del teorema ponte, nel caso delle funzioni convergenti?

[(15.12)pag. 62]

Qual e' l'enunciato del teorema ponte, nel caso delle funzioni divergenti positivamente?

[(15.13)pag. 62]

Qual e' la proprieta' di continuita' delle funzioni elementari?

[pag. 67]

Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione esponenziale per \( x \to +\infty \,\, \)

[(16.1)pag. 63]

Determinare, riconoscendoli dal grafico, il limite della funzione logaritmo in base \( e \,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e per \( x \to +\infty \,\, \)

[(16.3)pag. 64]

Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione arcotangente per \( x \to +\infty \,\, \)

\( \pi /2 \,\, \)

Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione arcotangente per \( x \to -\infty \,\, \)

\( -\pi /2 \,\, \)

Perche' il limite della funzione arcocoseno per \( x \to 0 \,\, \) e' \( \pi /2 \,\, \) ?

Per la proprieta' di continuita' della funzione arcocoseno

Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione radice quadrata per \( x \to +\infty \,\, \)

\( +\infty \,\, \)

Cosa afferma il teorema sulle operazioni con i limiti di funzioni?

[pag. 65]

Perche' il limite della funzione \( (1-\cos x) / x^2\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e' \( 1/2 \,\, \) ?

[(16.9) pag. 65]

Perche' il limite della funzione \( (1-\cos x) / x\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e' \( 0 \,\, \) ?

[(16.10) pag. 65]

Perche' il limite della funzione \( |x| / x\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) non esiste ?

[(15.19) pag. 63, pag. 67, figura 4.4 pag. 68]

Enunciare e dimostrare il teorema sui limiti delle funzioni composte

[pag. 65]

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{\son 5x}{2x} \,\, \)

\( \dys\frac{5}{2} \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{8x^2} \,\, \)

\( 1 \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to +\infty} (1+2/x)^{3x} \,\, \)

\( e^6 \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 5x}{\son x} \,\, \)

\( 0 \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{2^{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} \,\, \)

\( \log 2 \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{(1+\ton x )^5-1}{\ton 5x} \,\, \)

\( 1 \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{\son^2 x} \,\, \)

\( \dys\frac{1}{2} \,\, \)

Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{\son x} \,\, \)

\( \dys\frac{1}{2} \,\, \)

Come si definisce una funzione continua in un punto?

[pag. 66]

Come si definisce una funzione continua in un intervallo?

[pag. 66]

Cosa afferma il teorema sulle operazioni con le funzioni continue?

[fondo pag. 66]

Perché' la funzione seno e' continua nell'origine?

[(17.1)pag. 66, e anche (15.11) pag. 62, (13.22) pag. 54]

Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue

[pag. 69]

Enunciare e dimostrare il teorema dell'esistenza degli zeri

[pag. 70]

Come si puo' esprimere, in un'unica disuguaglianza, l'ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri relativa ai segni opposti assunti negli estremi dell'intervallo di definizione?

Data \( f \,\, \) continua nell'intervallo \( [a,b]\subseteq \RR \,\, \) , l'ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri e' esprimibile tramite la disuguaglianza \( f(a)f(b) < 0 \,\, \)

Enunciare e dimostrare il primo teorema dell'esistenza dei valori intermedi

[pag. 72]

Enunciare il teorema di Weierstrass

[pag. 73]

Cosa sono i punti di minimo e di massimo assoluto per una funzione reale?

[(19.14)pag. 73]

Perche' il minimo e il massimo assoluto per una funzione reale sono unici?

Sono unici perche' sono definiti rispettivamente come il minimo e il massimo di un particolare insieme di numeri reali (l'insieme in questione e' il codominio) , e abbiamo gia' dimostrato che per un qualunque sottoinsieme di \( \RR \,\, \) il minimo e il massimo, se esistono, sono unici.

Enunciare il secondo teorema dell'esistenza dei valori intermedi

[pag. 74]

Esibire un esempio di funzione \( f \,\, \) continua nel suo insieme di definizione, per la quale non e' vero che \( f \,\, \) assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo

\( x/|x| \,\, \)

Esiste una funzione elementare, continua nel suo intervallo di definizione, e priva di minimo e di massimo assoluto? In caso affermativo, perche' non si puo' applicare il teorema di Weierstrass?

\( \arcton x \,\, \) e' una funzione continua in un intervallo, che pero' non e' "chiuso e limitato" (perche' non e' limitato).