LIMITI DI FUNZIONI, FUNZIONI CONTINUE |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore |
DOMANDA |
RISPOSTA |
| Come si definisce il limite di una funzione reale di una variable reale, nel caso di funzioni definite in unioni finite di intervalli? | [pag. 61] |
| Esiste il limite di \( f(x)=1/x \,\, \) per \( x\to 0 \,\, \)? | No, perche' esistono due successioni \( (x_n) \,\, \), per esempio \( (1/n) \,\, \) e \( (-1/n) \,\, \) , tali che le corrispondenti successioni \( (f(x_n)) \,\, \) abbiano limiti distinti |
| Come si caratterizza il limite di una funzione nel caso delle funzioni convergenti in un punto \( x_0\in\RR \,\, \) ? | [(15.12)pag. 62] |
| Come si caratterizza il limite di una funzione nel caso delle funzioni divergenti positivamente in un punto \( x_0\in\RR \,\, \) ? | [(15.13)pag. 62] |
| Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione esponenziale per \( x \to +\infty \,\, \) | [(16.1)pag. 63] |
| Determinare, riconoscendoli dal grafico, il limite della funzione logaritmo in base \( e \,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e per \( x \to +\infty \,\, \) | [(16.3)pag. 64] |
| Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione arcotangente per \( x \to +\infty \,\, \) | \( \pi /2 \,\, \) |
| Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione arcotangente per \( x \to -\infty \,\, \) | \( -\pi /2 \,\, \) |
| Determinare, riconoscendolo dal grafico, il limite della funzione radice quadrata per \( x \to +\infty \,\, \) | \( +\infty \,\, \) |
| Come si definisce una funzione continua in un punto (del proprio insieme di definizione)? | [pag. 66] |
| Cosa vuol dire che una funzione e' continua (senza alcuna specificazione)? | Una funzione si dice \( continua \) se e' continua in ogni punto del suo insieme di definizione. |
| Perche' il limite della funzione arcocoseno per \( x \to 0 \,\, \) e' \( \pi /2 \,\, \) ? | Per la continuita' della funzione arcocoseno (tale funzione e' continua perche' tutte le funzioni elementari sono continue), il limite della funzione arcocoseno per \( x \to 0 \,\, \) e' proprio il valore che l'arcocoseno assume nel punto \( x = 0 \,\, \), cioe' appunto \( \pi /2 \,\, \). |
| Cosa afferma il teorema sulle operazioni con i limiti di funzioni? | [pag. 65] |
| Cosa afferma il teorema sulle operazioni con le funzioni continue? | [fondo pag. 66] |
| Cosa afferma il teorema sui limiti delle funzioni composte? | Se \( f \,\, \) e' continua e se \( g \,\, \) tende a \( y_0 \,\, \) per \( x\to x_0 \,\, \), allora \( \displaystyle\lim_{x\to x_0} f(g(x))= \displaystyle\lim_{y\to y_0} f(y)\,\, \) (se quest'ultimo limite esiste). |
| Perche' il limite della funzione \( (1-\cos x) / x^2\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e' \( 1/2 \,\, \) ? | [(16.9) pag. 65] |
| Perche' il limite della funzione \( (1-\cos x) / x\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) e' \( 0 \,\, \) ? | [(16.10) pag. 65] |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{\son 5x}{2x} \,\, \) | \( \dys\frac{5}{2} \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{8x^2} \,\, \) | \( 1 \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to +\infty} (1+2/x)^{3x} \,\, \) | \( e^6 \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 5x}{\son x} \,\, \) | \( 0 \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{2^{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} \,\, \) | \( \log 2 \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{(1+\ton x )^5-1}{\ton 5x} \,\, \) | \( 1 \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{\son^2 x} \,\, \) | \( \dys\frac{1}{2} \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{\son x} \,\, \) | \( \dys\frac{1}{2} \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to 0} \frac{\log (1+2x)}{3x} \,\, \) | \( \dys\frac{2}{3} \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to +\infty} \frac{2^x}{x^3} \,\, \) | \( +\infty \,\, \) |
| Calcolare \( \dys\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3}{\log x} \,\, \) | \( +\infty \,\, \) |
| Perche' il limite della funzione \( |x| / x\,\, \) per \( x \to 0 \,\, \) non esiste ? | [(15.19) pag. 63, pag. 67, figura 4.4 pag. 68] |
| Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue | [pag. 69] |
| Enunciare il teorema dell'esistenza degli zeri | [pag. 70] |
| Come si puo' esprimere, in un'unica disuguaglianza, l'ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri relativa ai segni opposti assunti negli estremi dell'intervallo di definizione? | Data \( f \,\, \) continua nell'intervallo \( [a,b]\subseteq \RR \,\, \) , l'ipotesi del teorema dell'esistenza degli zeri e' esprimibile tramite la disuguaglianza \( f(a)f(b) < 0 \,\, \) |
| Enunciare e dimostrare il primo teorema dell'esistenza dei valori intermedi | [pag. 72] |
| Enunciare il teorema di Weierstrass | [pag. 73] |
| Cosa sono i punti di minimo e di massimo assoluto per una funzione reale? | [(19.14)pag. 73] |
| Enunciare il secondo teorema dell'esistenza dei valori intermedi | [pag. 74] |
| Esibire un esempio di funzione \( f \,\, \) continua nel suo insieme di definizione e non dotata di minimo e di massimo | \( f(x)=x \,\, \) oppure \( f(x)=-x \,\, \), definite in un intervallo aperto \( ]a,b[ \,\, \), non sono dotate ne' di minimo ne' di massimo. |
| Esiste una funzione elementare, continua nel suo intervallo di definizione, e priva di minimo e di massimo assoluto? In caso affermativo, perche' non si puo' applicare il teorema di Weierstrass? | \( \arcton x \,\, \) e' una funzione continua in un intervallo, priva sia di minimo che di massimo; e' definita in un intervallo (tutto l'asse reale) che non e' "chiuso e limitato". |
-------------------- aggiornamento del giorno 30 novembre 2015 -------------------- |
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