I NUMERI REALI |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore |
DOMANDA |
RISPOSTA |
| Scrivere la proprietà' associativa dell'addizione e della moltiplicazione in \(\RR\) | [(2.1) pag. 4] |
| Scrivere la proprietà' commutativa dell'addizione e della moltiplicazione in \(\RR\) | [(2.2) pag. 4] |
| Scrivere la proprietà' distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, in \(\RR\) | [(2.3) pag. 4] |
| Cosa si intende per \( opposto \) di un numero reale? | [(2.5) pag. 4] |
| Cosa si intende per \( reciproco \) di un numero reale non nullo? | [(2.6) pag. 4] |
| Enunciare l'assioma di completezza | [(2.11) pag. 5] |
| Scrivere una definizione intuitiva dell'insieme dei numeri naturali | [(4.1) pag. 8] |
| Scrivere una definizione intuitiva dell'insieme dei numeri interi | [(4.2) pag. 8] |
| Scrivere la definizione dell'insieme dei numeri razionali | [(4.3) pag. 9] |
| Sia \( \ZZ \) l'insieme dei numeri interi. E' vero o falso che \( a\ge 1 \, \forall a\in \ZZ \) ? | Falso: \( a=0\in \ZZ \) non verifica \( a\ge 1 \) |
| Sia \( \RR \) l'insieme dei numeri reali. E' vero o falso che se \( a\in \RR \), \( a\ge -5 \) allora \( a\ge -9 \) ? | Vero: poiche' \( -5\ge -9 \), dal fatto che \( a\ge -5\ge -9 \) segue \( a\ge -9 \) |
| Sia \( \RR \) l'insieme dei numeri reali. E' vero o falso che \( \forall a\in \RR \) risulta \( -a < 0 \) ? | Falso: \( a = -2\in \RR \) non verifica \( -a < 0 \), perche' \( -a = 2 > 0 \) |
| Sia \( \NN \) l'insieme dei numeri naturali e \( \RR \) l'insieme dei numeri reali. E' vero o falso che \( \forall x\in \RR \,\exists n\in \NN : n < x \, \) ? | Falso: Se \( x = 1 \) risulta \( x\in \RR \) e non esiste alcun \( n\in \NN : n < 1 \, \) |
| Dato un intervallo di estremi \(a \) e \(b \), quali sono i punti interni a tale intervallo? | \( ] a, b [ \) |
| Consideriamo l'intervallo \( [ 0 , 1 [ \). Esistono punti appartenenti a tale intervallo che non sono interni? | Si. L'estremo \( 0 \) e' appartenente ma non interno. |
| Siano \(a \) , \(b \) numeri reali con \( a < b \). Come si definisce la lunghezza di uno qualunque dei quattro intervalli di estremi \(a \) e \(b \)? | \( b-a \) |
| Siano \(a \) , \(b \) numeri reali con \( a < b \). Come si definisce il punto medio di uno qualunque dei quattro intervalli di estremi \(a \) e \(b \)? | \( \frac{a+b}{2} \) |
| Come si definisce il massimo di un insieme non vuoto di numeri reali? | [(6.1) pag. 12] |
| Come si definisce il minimo di un insieme non vuoto di numeri reali? | [(6.2) pag. 13] |
| Dimostrare che il massimo di un insieme, se esiste, e' unico. | [pag. 13] |
| L'insieme \( [ 0 , 1 [ \) e' dotato di massimo? e' dotato di minimo? | E' dotato di minimo \( m=0 \) ma non e' dotato di massimo |
| L'insieme \( \NN \) dei numeri naturali e' dotato di massimo? e' dotato di minimo? | E' dotato di minimo \( m=1 \) ma non e' dotato di massimo |
| Come si definisce un maggiorante di un insieme non vuoto di numeri reali? | [pag. 13] |
| Come si definisce un minorante di un insieme non vuoto di numeri reali? | [pag. 13] |
| Il massimo di un insieme non vuoto di numeri reali e' anche un maggiorante (dello stesso insieme) ? | Si. Un numero reale, per essere massimo di un insieme non vuoto di numeri reali, deve verificare due condizioni, tra cui la proprieta' di essere maggiorante (l'altra e' appartenere all'insieme). |
| Sia \( {\it A} \) un insieme non vuoto di numeri reali. Quanti maggioranti puo' ammettere \( {\it A} \,\)? | Nessuno oppure infiniti (perché' se esiste un maggiorante, ne esistono infiniti). |
| Come si definisce un insieme di numeri reali limitato superiormente? | [pag. 13] |
| Come si definisce un insieme di numeri reali limitato inferiormente? | [pag. 13] |
| Come si definisce un insieme limitato di numeri reali? | [pag. 13] |
| Scrivere in formule che un insieme e' limitato | [(6.3) pag. 13] |
| Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza dell'estremo superiore | [pag. 13] |
| Come si definisce l'estremo superiore di un insieme non vuoto di numeri reali? | [pag. 14] |
| Come si definisce l'estremo inferiore di un insieme non vuoto di numeri reali? | [pag. 14] |
| Dimostrare che il massimo di un insieme non vuoto di numeri reali, se esiste, coincide con l'estremo superiore. | Sia \( {\it A} \) un insieme non vuoto di numeri reali dotato di massimo: \( M={\rm max} {\it A} \). Poiche' \( M \), in quanto massimo, e' anche maggiorante di \( {\it A} \), si ha che \( {\it A} \) e' limitato superiormente, quindi e' da dimostrare che \( M \) e' il minimo dell'insieme dei maggioranti, che possiamo denotare con la lettera \( {\it B} \). Risulta \( M \) appartenente a \( {\it B} \), in quanto abbiamo gia' osservato che \( M \) e' maggiorante di \( {\it A} \). Inoltre risulta \( M\le b \forall b\in {\it B} \) perche' ogni elemento \( b\in {\it B} \), essendo maggiorante di \( {\it A} \), e' maggiore o uguale di ogni elemento di \( {\it A} \), quindi anche di \( M \) (che, in quanto massimo di \( {\it A} \), appartiene ad \( {\it A} \) ). |
| Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'insieme \( {\it A}= \{ 1/n : n\in \NN \} \) | Risulta \( 1\in {\it A} \) e \( 1\ge 1/n \forall n\in \NN \), quindi \( 1= {\rm max} {\it A} \). Ne segue anche che \( 1= {\rm sup} {\it A} \). Il minimo di \( {\it A} \) non esiste: infatti se \( x\le 0 \), allora \( x \) non appartiene ad \( {\it A} \) (e quindi non puo' esserne il minimo). Se \( x > 0 \), usando il fatto che \( \NN \) non e' limitato superiormente, si ha che \( 1/x \) non e' maggiorante di \( \NN \), quindi esiste \( n\in\NN \) tale che \( n > 1/x \). Tale \( n\in\NN \) soddisfa anche \( x > 1/n \) e cio' dimostra che \( x \) non e' minorante di \( {\it A} \). Quindi nessun numero reale contemporaneamente appartiene ad \( {\it A} \) ed e' minorante di \( {\it A} \). Infine, l'estremo inferiore di \( {\it A} \) e' \( 0 \): infatti \( 0 \) è minorante di \( {\it A} \) (che e' costituito da numeri positivi) e poi dalla dimostrazione precedente sappiamo che ogni numero maggiore di \( 0 \) non e' minorante di \( {\it A} \), quindi \( 0 \) e' il massimo dei minoranti di \( {\it A} \). |
| Scrivere le proprieta' caratteristiche dell'estremo superiore di un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente | [(6.5) pag. 14] |
| Scrivere le proprieta' caratteristiche dell'estremo inferiore di un insieme di numeri reali non vuoto e limitato inferiormente | [(6.6) pag. 14] |
| Enunciare il principio di induzione | [pag. 10] |
| Enunciare e dimostrare la formula che esprime la somma dei primi \( n \) numeri naturali | [pag. 11] |
| Enunciare e dimostrare la formula che esprime la somma dei primi \( n \) numeri naturali dispari | \( 1+3+5+\cdots + (2n-1)=n^2\,\, \) DIM (per induzione): L'uguaglianza e' vera banalmente per \( n=1 \). Supponiamo ora che risulti \( 1+3+5+\cdots + (2n-1)=n^2\,\, \) e dimostriamo che \( 1+3+5+\cdots + (2n+1)=(n+1)^2\,\, \). Si ha \( 1+3+5+\cdots + (2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)= (n+1)^2\) |
| Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bernoulli | [pag. 11] |
-------------------- aggiornamento del giorno 27 ottobre 2015 -------------------- |
----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----
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