LIMITI DI SUCCESSIONI |
Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e' |
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore |
DOMANDA |
RISPOSTA |
| Cosa e' una successione di numeri reali? | [pag. 39] |
| Definizione di limite (finito) di successione: se \( (a_n) \,\,\) e' una successione di numeri reali e se \( a\in \RR\,\) , cosa vuol dire l'affermazione " \( (a_n) \,\,\) tende ad \( a \,\) "? | [pag. 41] |
| Quando una successione si dice convergente? | [pag. 46] |
| Quando una successione si dice divergente? | [pag. 46] |
| Quando una successione si dice regolare? | [pag. 47] |
| Quando una successione si dice oscillante? | Una successione si dice oscillante se non e' regolare |
| Quando una successione si dice infinitesima? | Una successione si dice infinitesima se converge a \( 0\,\, \) |
| La successione \( a_n={(-1)^n\over n}\,\, \) tende a \( a=0\,\, \) (e' dimostrato a pag. 49), quindi per tale successione vale la definizione di limite. Se fissiamo \( \epsilon={1\over 5}\,\, \) per quali \( \nu\in\NN\,\, \) risulta \( |a_n - a| < \epsilon \,\, \forall \, n > \nu \,\, \) ? | \( \nu \ge 5 \) |
| Enunciare e dimostrare il teorema sulla unicita' del limite di una successione | [pag. 46] |
| Quando una successione si dice limitata? | [(11.1)pag. 47] |
| Mostrare un esempio di successione limitata che non e' dotata di limite | [(11.3)pag. 47] |
| Mostrare un esempio di successione dotata di limite ma non limitata | La successione dei numeri naturali |
| E' possibile considerare una successione convergente ma non limitata? | No, perché' ogni successione convergente e' limitata. |
| Enunciare e dimostrare il teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti | [pag. 47] |
| Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno | [pag. 48] |
| Enunciare e dimostrare il teorema sul limite di una successione convergente non negativa | [pag. 48] |
| Enunciare e dimostrare il teorema sul passaggio al limite in una disuguaglianza tra successioni convergenti | [pag. 48] |
| Enunciare e dimostrare il teorema dei carabinieri | [pag. 48] |
| Enunciare e dimostrare il teorema dei carabinieri, nell'ipotesi in cui le tre successioni \( a_n, c_n, b_n \,\, \) verificano la disuguaglianza \( a_n \le c_n \le b_n \,\, \) solo per \( n > \nu_1 \,\, \), per qualche indice \( \nu_1 \in \NN \,\, \) | La dimostrazione coincide con quella classica (illustrata a pag. 49), l'unica differenza e' che si deve porre \( \nu \) uguale al massimo di tre indici, precisamente di \( \nu_1 \) e dei due indici dati dalla definizione di limite applicata alle successioni \( a_n \,\, \) e \( b_n \,\, \) |
| Enunciare e dimostrare il teorema dei carabinieri, nel caso di due successioni \( a_n \,\, \) e \( b_n \,\, \), con la prima successione \( a_n \,\, \) divergente positivamente | [(12.9) pag. 49] |
| Enunciare e dimostrare il teorema dei carabinieri, nel caso di due successioni \( a_n \,\, \) e \( b_n \,\, \), con la seconda successione \( b_n \,\, \) divergente negativamente | [(12.10) pag. 49] |
| Enunciare il teorema sulle operazioni con i limiti, nel caso di successioni convergenti | [(13.3), (13.4), (13.5), (13.6), pag. 50] |
| Cosa vuol dire l'affermazione: \( 0 \cdot \infty \,\, \) e' una forma indeterminata? | [pag. 51] |
| Esibire un esempio di forma del tipo \( 0 \cdot \infty \,\, \) che sia convergente a zero | \( a_n=1/n^2 \,\, , b_n=n \,\, \) |
| Esibire un esempio di forma del tipo \( 0 \cdot \infty \,\, \) che sia convergente a uno | \( a_n=1/n \,\, , b_n=n \,\, \) |
| Esibire un esempio di forma del tipo \( 0 \cdot \infty \,\, \) che sia divergente positivamente | \( a_n=1/n \,\, , b_n=n^2 \,\, \) |
| Scrivere il limite della successione \( n^b \,\, \) per ogni \( b\in\RR \,\, \) | [(13.17)pag. 52] |
| Quanto e' il limite della successione \( \sqrt{n} \,\, \) ? | [(13.18)pag. 52] |
| Quanto e' il limite della successione \( \arcton{n} \,\, \) ? | \( \pi /2 \,\, \) |
| Quanto e' il limite della successione \( \log n \,\, \) ? | \( +\infty \,\, \) |
| Scrivere il limite della successione \( a^n \,\, \) per ogni \( a\in\RR \,\, \) | [(13.20)pag. 53] |
| Dimostrare che il seno di una successione infinitesima e' una successione infinitesima | [(13.22)pag. 54] |
| Dimostrare che il coseno di una successione infinitesima e' una successione convergente a \( 1 \,\, \) | [(13.23)pag. 54] |
| Dimostrare che se \( (a_n) \,\, \) e' una successione infinitesima con \( a_n\neq 0 \,\, \) per ogni \( n\in\NN \,\, \) , allora \( \left( {\son a_n\over a_n} \right) \,\, \) e' una successione convergente a \( 1 \,\, \) | [(13.26)pag. 54] |
| Come si definisce il numero di Nepero? | [(13.31)pag. 55] |
| Come si definisce la successione di Fibonacci? (scrivere la definizione per ricorrenza) | \( \,\,\displaystyle\cases{& \( F_1=1 \) \cr & \( F_2=1 \) \cr & \( F_{n+2}= F_{n+1}+F_n \,\, \forall n\in \NN \,\, \)}\,\,\) |
| Come si dimostra che il rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e il precedente, se converge, ha per limite il rapporto aureo? | Poiche' i termini della successione di Fibonacci sono numeri (interi) positivi, dalla definizione per ricorrenza si deduce che \( F_{n+1}/F_n \ge 1 \,\, \) e quindi, passando al limite (si usa un corollario del teorema della permanenza del segno), si deduce che il limite del rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e il precedente, diciamolo \( L \,\, \) , e' maggiore o uguale a \( 1 \,\, \) . D'altra parte dalla relazione \( F_{n+1}/F_n = 1+1/(F_n/F_{n-1}) \,\, \) si deduce, utilizzando i teoremi sul limite del rapporto di successioni convergenti e sul limite della somma di successioni convergenti, che deve risultare \( L=1+1/L \,\, \) e quindi \( L \,\, \) e' la soluzione positiva dell'equazione \( L^2-L-1=0 \,\, \) , cioe' \( L=(1+\sqrt{5})/2 \,\, \) |
-------------------- aggiornamento del giorno 30 ottobre 2014 -------------------- |
----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----
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