\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI E PRIMI SIMBOLI DEL LINGUAGGIO MATEMATICO

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA

Sia \( S \) un insieme e sia \( 2 \) un suo elemento. Scrivere, utilizzando il simbolo di \( appartenente \), che \( 2 \) e' un elemento di \( S \)

\( 2\in S \)

Sia \( S \) un insieme e supponiamo che \( 7 \) non sia un suo elemento. Scrivere, utilizzando il simbolo di \( non \) \( appartenente \), che \( 7 \) non e' un elemento di \( S \)

\( 7\notin S \)

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi. Come si esprime in simboli e cosa vuol dire che \( {\it A} \) e' contenuto in \( B \)?

[(3.3) pag. 7]

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi. Come si esprime in simboli e cosa vuol dire che \( {\it A} \) contiene \( B \)?

\( {\it A} \supseteq B \Leftrightarrow B\subseteq {\it A} \)

Siano \( {\it A}=\{ 4,1\} \) e \( B=\{ 5,1,7\} \) due insiemi. Perche' \( {\it A} \) non e' contenuto in \( B \) ?

Perche' esiste un elemento di \( {\it A} \) che non appartiene a \( B \): infatti \( 4\in {\it A} \) e \( 4\notin B \)

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi e supponiamo che sia \( {\it A} \subseteq B\) e anche \( B \subseteq {\it A}\). Cosa si puo' dedurre da tali relazioni?

\( {\it A} = B \)

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi. Come si definisce l' \(intersezione\) di \( {\it A} \) e \( B \)?

[(3.1) pag. 6]

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi. Cosa vuol dire che \( {\it A} \) e \( B \) sono disgiunti?

\( {\it A} \cap B = \emptyset\)

Siano \( {\it A} \) e \( B \) due insiemi. Come si definisce l' \(unione\) di \( {\it A} \) e \( B \)?

[(3.2) pag. 6]

Come si definisce la \(differenza\) di due insiemi?

[(3.4) pag. 7]

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \exists\, n\in {\bf N} : m>n \,\forall m\in {\bf N}\,\,\)?

Falso: la relazione \( 1>n \) non e' verificata per alcun \( n\in {\bf N} \)

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \exists\, n\in {\bf N} : m\ge n \,\forall m\in {\bf N}\,\,\)?

Vero: basta considerare \( n=1 \)

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \forall\, p\in {\bf N} \,\exists m,n\in {\bf N} : m < p < n \,\,\) ?

Falso: se \( p=1 \) non esiste alcun \( m\in {\bf N} \) tale che \(m<1\)

Posto \( T = \{ 8 , 9 , 10 \} \) , \( {\it A}= \{ n\in T : n \,\,{\rm e'}\,\, {\rm dispari}\} \) , \( B=\{ n\in \NN : 5\le {\it n}\le 10\} \) , dimostrare che \( {\it A} \subseteq B\)

Risulta \( {\it A} =\{ 9\} \) e \( 9\in B\) perche' \( 5\le 9\le 10\)

Determinare l'insieme \( \{ 5 , 9 , 1 \} \cap \{ n\in \NN : {\it n}^2 \,\,{\rm e'}\,\, {\rm pari}\} \)

\( \emptyset \)

Determinare l'insieme \( \{ 5 , 9 , 1 \} \cup \{ n\in \NN : {\it n}^2 \,\,{\rm e'}\,\, {\rm dispari}\} \)

\( \{ n\in \NN : {\it n}^2 \,\,{\rm e'}\,\, {\rm dispari}\} \). Si puo' osservare che piu' in generale per due insiemi \( {\it A} \), \( B\) risulta \( {\it A} \subseteq B \Rightarrow {\it A} \cup B = B\)

Determinare l'insieme \( ( \NN-\{ 1 \} ) \cup ( \NN \cap \{ 1 \} ) \)

\( \NN \). Si puo' osservare che piu' in generale per due insiemi \( {\it A} \), \( B\) risulta \( ( {\it A} - B)\cup ( {\it A}\cap B)={\it A} \)

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \exists\, x\in {\bf N} : \forall\, y\in {\bf N}\,\, {\rm risulta} \,\, x-y=3 \,\,\) ?

Falso. Infatti e' vero il contrario: \( \forall\, x\in {\bf N} \,\,\) \( \exists\, y\in {\bf N} \,\,\) : \( \,\, x-y\neq 3 \,\,\) (infatti basta considerare un qualunque numero naturale \( y\in {\bf N} \,\,\) che non coincida con \( x-3 \) ). Si puo' anche ragionare dicendo: \( \forall\, x\in {\bf N} \,\,\) non vale il fatto che " \( \forall\, y\in {\bf N}\,\, {\rm risulta} \,\, x-y=3 \,\,\) " perche' esiste al piu' un valore di \( y\in {\bf N} \,\,\) tale che \( x-y=3 \), dato da \( y=x-3 \) (se e' naturale; altrimenti non esiste alcun \( y\in {\bf N} \,\,\) )

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \forall\, x\in {\bf N} \,\, \exists\, y\in {\bf N}\,\, : \,\, x-y=3 \,\,\) ?

Falso: basta considerare ad esempio \( x=1 \)

Sia \(\bf N\) l'insieme dei numeri naturali. E' vero o falso che \( \exists\, x\in {\bf N} \, , \, \exists\, y\in {\bf N}\,\, : \,\, x-y=3 \,\,\) ?

Vero: basta considerare ad esempio \( x=5\,\), \( y=2\,\)