Luigi M. Ricciardi |
DIDATTICA |
Programma di Calcolo delle Probabilità
(Anno Accademico 2000-2001)
Cenni storici. Cenni alle passeggiate aleatorie. Lancio
di una moneta equa: il problema del ritorno all'origine. Esperimenti casuali.
Spazio campione W. Algebra di
eventi. Frequenza empirica e probabilità. Probabilità a priori. Interpretazione
geometrica della probabilità. Spazio campione di Bernoulli. Algebre e s-algebre su W. Spazio di probabilità. Teoria
assiomatica della probabilità. Teoremi principali. Indipendenza di eventi.
Probabilità condizionata. Teorema delle alternative. Formula di
inclusione-esclusione. Successioni di eventi. Limiti di successioni di eventi.
Teorema di equivalenza. Teorema di Bayes. Lemma di Borel-Cantelli. Legge 0-1.
Modelli di occupazione: statistiche di Fermi-Dirac, Bose-Einstein,
Maxwell-Boltzmann.
Definizione di variabile casuale. Funzione di
distribuzione e relativi teoremi. Variabili casuali discrete. Distribuzione di
probabilità. Variabili casuali assolutamente continue. Densità di probabilità.
Funzione di variabile casuale. Calcolo della funzione di distribuzione e della
densità di probabilità per funzioni di variabile casuale. Aspettazione di una
va\-riabile casuale. Aspettazione di funzione di variabile casuale. Momenti
intorno all'origine. Momenti centrali. Relazione tra momenti centrali e momenti
intorno all'origine. Moda e mediana. Varianza e sua interpretazione. Variabili
casuali standard. Disuguaglianza di Chebyshev. Variabili casuali discrete:
uniforme, di Bernoulli, binomiale, di Pascal, geometrica, binomiale negativa,
ipergeometrica, di Poisson. Distribuzione di Poisson come limite della
distribuzione binomiale. Variabili casuali assolutamente continue: uniforme,
normale, gamma, esponenziale, chi-quadrato, di Cauchy. Distribuzione normale
come limite della distribuzione binomiale. Funzione generatrice di probabilità
e sua applicazione al processo di Poisson. Funzione generatrice dei momenti.
Funzioni di distribuzione e densità di probabilità
multidimensionali. Distribuzioni e densità di probabilità marginali.
Distribuzioni multinomiale e ipergeometrica. Momenti di variabili casuali n-dimensionali.
Momenti prodotto. Indipendenza di variabili casuali. Covarianza e correlazione.
Coefficiente di correlazione e relative proprietà. Disuguaglianza di Schwarz.
Legge della varianza. Densità di probabilità di variabili casuali somma,
differenza, prodotto e rapporto.
Definizione di funzione caratteristica. Funzione
caratteristica e momenti. Cenno alle formule di inversione. Funzione
caratteristica della somma di variabili casuali indipendenti.
5. Variabili
casuali condizionate
Funzioni di distribuzione e densità di probabilità
condizionate.
6. Convergenza
di variabili casuali
Teorema di Bernoulli. Convergenze in probabilità e in
distribuzione. Legge debole dei grandi numeri. Teorema centrale del limite e
sue applicazioni.
7. Generalità
sui processi stocastici
Definizione di processo stocastico. Spazio degli stati.
Classificazione dei processi stocastici. Il problema della descrizione di un
processo stocastico. Processi di Markov. Densità di probabilità di transizione.
Equazione di Smolukowski. Momenti infinitesimali. Sviluppi forward e backward
dell'equazione di Smolukowski. Teorema di Pawula.
Passeggiata aleatoria semplice. Calcolo delle probabilità
di transizione per passeggiate libere. Comportamento asintotico di passeggiate
aleatorie. Passeggiate aleatorie in presenza di coppie di barriere assorbenti.
Caso di barriere singole.
Generalità. Il processo di Wiener senza drift. Il
processo di Wiener con drift. Il processo di Ornstein-Uhlenbeck. Calcolo delle
densità di transizione per i processi di Wiener e di Ornstein-Uhlenbeck.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI (ad esclusivo titolo indicativo)