Luigi M. Ricciardi |
DIDATTICA
|
(aa 2001/2002)
1. Fondamenti
Cenni storici. Cenni alle
passeggiate aleatorie. Lancio di una moneta equa: il problema del ritorno
all'origine. Esperimenti casuali. Spazio campione W. Algebra di eventi. Frequenza empirica e
probabilità. Probabilità a priori. Probabilità soggettiva. Interpretazione
geometrica della probabilità. Spazio campione di Bernoulli. Algebre
e s-algebre su W. Spazio di probabilità. Teoria assiomatica della
probabilità. Teoremi principali. Indipendenza di eventi.
Probabilità condizionata. Teorema delle alternative.
Formula di inclusione-esclusione. Successioni di eventi. Limiti di successioni di eventi.
Teorema di equivalenza. Teorema di Bayes. Lemma di
Borel-Cantelli. Legge 0-1. Modelli di occupazione:
statistiche di Fermi-Dirac, Bose-Einstein, Maxwell-Boltzmann.
2. Variabili casuali
in R1
Definizione di variabile casuale.
Funzione di distribuzione e relativi teoremi. Variabili casuali discrete.
Distribuzione di probabilità. Variabili casuali assolutamente continue. Densità
di probabilità. Funzione di variabile casuale. Calcolo della
funzione di distribuzione e della densità di probabilità per funzioni di
variabile casuale. Valore medie di variabili
casuali e di funzioni di variabili casuali. Momenti intorno all'origine.
Momenti centrali. Relazione tra momenti centrali e momenti intorno all'origine.
Mediana. Varianza e sua interpretazione. Variabili casuali standardizzate.
Disuguaglianza di Chebyshev. Variabili casuali discrete:
uniforme, di Bernoulli, binomiale, di Pascal, geometrica, binomiale negativa,
ipergeometrica, di Poisson. Distribuzione di Poisson come limite della
distribuzione binomiale. Variabili casuali assolutamente continue: uniforme,
normale, gamma, esponenziale, chi-quadrato, di Cauchy. Distribuzione
normale come limite della distribuzione binomiale. Funzione generatrice
di probabilità e sua applicazione al processo di Poisson. Funzione generatrice
dei momenti.
3. Variabili casuali in Rn
Funzioni di distribuzione e
densità di probabilità multidimensionali. Distribuzioni e densità di
probabilità marginali. Distribuzione multinomiale. Momenti di variabili casuali
n-dimensionali. Momenti
prodotto. Indipendenza di variabili casuali. Covarianza e correlazione.
Coefficiente di correlazione e relative proprietà. Disuguaglianza di Schwarz.
Legge della varianza. Densità di probabilità di variabili casuali somma,
differenza, prodotto e rapporto.
4. Funzione
caratteristica
Definizione
e principali proprietà. Relazione con i momenti di variabili
casuali. Cenno alle formule di inversione.
Funzione caratteristica della somma di variabili casuali indipendenti.
5. Condizionamento nel continuo
Funzioni di distribuzione e
densità di probabilità condizionate. Momenti condizionati. Media della somma di
un numero aleatorio di variabili.
6. Convergenza di variabili casuali
Teorema di Bernoulli.
Convergenze in probabilità e in distribuzione. Legge debole dei grandi numeri.
Teorema centrale del limite e sue applicazioni.
7. Generalità sui processi stocastici
Definizione di processo
stocastico. Spazio degli stati. Classificazione dei processi stocastici. Il problema della descrizione di un processo stocastico.
Processi di Markov. Densità di probabilità di transizione. Equazione di
Smolukowski. Momenti infinitesimali. Sviluppi forward e backward dell'equazione
di Smolukowski. Teorema di Pawula.
8. Passeggiate aleatorie
Passeggiata aleatoria
semplice. Calcolo delle probabilità di transizione per
passeggiate libere. Comportamento asintotico di passeggiate aleatorie.
Passeggiate aleatorie in presenza di coppie di
barriere assorbenti. Caso di un’unica barriera assorbente.
9. Processi stocastici di diffusione
Cenni alla scoperta del moto
browniano. Generalità sui processi di diffusione. Il processo di Wiener. Il
processo di Wiener con drift. Il processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Calcolo delle densità di transizione per i processi di Wiener e di Ornstein-Uhlenbeck.
N.B. La prova d’esame include prioritariamente la verifica della capacità di risoluzione di esercizi.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI (ad esclusivo titolo indicativo)
1.
Gnedenko B. (1979) Teoria della Probabilità. Editori Riuniti.
2.
Baclawski K., Cerasoli M. e Rota G.-C. (1990) Introduzione alla
Probabilità. Unione Matematica Italiana, II Edizione.
3.
Ricciardi L.M. Appunti dalle lezioni.
4. Ricciardi L.M. e Rinaldi S. (1994) Esercizi di Calcolo delle Probabilità. Liguori Editore.