Luigi M. Ricciardi |
DIDATTICA
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Programma di
Calcolo delle Probabilità
(Anno Accademico 1999-2000)
Cenni storici.
Cenni alle passeggiate aleatorie. Lancio di una moneta equa: il problema del
ritorno all'origine. Esperimenti casuali. Spazio campione. Algebra di eventi.
Frequenza empirica e probabilità. Probabilità a priori. Interpretazione
geometrica della probabilità. Spazio campione di Bernoulli. Spazio di
probabilità. Teoria assiomatica della probabilità. Teoremi principali.
Indipendenza di eventi. Probabilità condizionata. Teorema delle alternative.
Formula di inclusione-esclusione. Successioni di eventi. Limiti di successioni
di eventi. Teorema di equivalenza. Teorema di Bayes. Lemma di Borel-Cantelli.
Legge 0-1. Modelli di occupazione: statistiche di Fermi-Dirac, Bose-Einstein,
Maxwell Boltzmann. Test dei run e calcolo della relativa distribuzione.
Definizione di
variabile casuale. Funzione di distribuzione e relativi teoremi. Variabili
casuali discrete. Distribuzione di probabilità. Variabili casuali assolutamente
continue. Densità di probabilità. Funzioni di variabile casuale. Calcolo della
funzione di distribuzione e della densità di probabilità per funzioni di
variabile casuale. Aspettazione di una variabile casuale. Aspettazione di
funzione di variabile casuale. Momenti intorno all'origine. Momenti centrali.
Relazione tra momenti centrali e momenti intorno all'origine. Moda e mediana.
Varianza e sua interpretazione. Variabili casuali standard. Disuguaglianza di
Chebyshev. Variabili casuali discrete: uniforme, di Bernoulli, binomiale, di
Pascal, geometrica, binomiale negativa, ipergeometrica, di Poisson.
Distribuzione di Poisson come limite della distribuzione binomiale. Variabili
casuali assolutamente continue: uniforme, normale, gamma, esponenziale,
chi-quadrato, di Cauchy. Distribuzione normale come limite della distribuzione
binomiale. Dimostrazione probabilistica della formula di Stirling. Funzione
generatrice di probabilità e sua applicazione al processo di Poisson. Funzione
generatrice dei momenti.
Funzioni di
distribuzione e densità di probabilità multidimensionali. Distribuzioni e
densità di probabilità marginali. Distribuzioni multinomiale e ipergeometrica.
Momenti di variabili casuali multidimensionali. Momenti prodotto. Indipendenza
di variabili casuali. Covarianza e correlazione. Coefficiente di correlazione e
relative proprietà. Disuguaglianza di Schwarz. Legge della varianza. Densità di
probabilità di variabili casuali somma, differenza, prodotto e rapporto.
Definizione di funzione
caratteristica. Funzione caratteristica e momenti. Formule di inversione.
Funzione caratteristica della somma di variabili casuali indipendenti.
5. Variabili casuali condizionate
Funzioni di distribuzione e
densità di probabilità condizionate. Momenti condizionati.
6. Convergenza di variabili casuali
Teorema di Bernoulli. Convergenze
in probabilità e in distribuzione. Legge debole dei grandi numeri. Teorema
centrale del limite e sue applicazioni.
7. Generalità sui processi stocastici
Definizione di
processo stocastico. Spazio degli stati. Classificazione dei processi
stocastici. Il problema della descrizione di un processo stocastico. Processi
di Markov. Densità di probabilità di transizione. Equazione di Smolukowski.
Momenti infinitesimali. Sviluppi forward e backward dell'equazione di
Smolukowski. Teorema di Pawula.
Passeggiata
aleatoria semplice. Calcolo delle probabilità di transizione per passeggiate
libere. Comportamento asintotico di passeggiate aleatorie.
Generalità. Il processo di Wiener
senza drift. Il processo di Wiener con drift. Il processo di
Ornstein-Uhlenbeck. Calcolo delle densità di transizione per i processi di
Wiener e di Ornstein-Uhlenbeck.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI (ad esclusivo titolo indicativo)