\( \def\NN{\bf N\rm} \def\ZZ{\bf Z\rm} \def\QQ{\bf Q\rm} \def\RR{\bf R\rm} \def\bold#1{\bf #1} \def\son{{\rm sen}} \def\arcton{{\rm arctg}} \def\ton{{\rm tg}} \def\coton{{\rm cotg}} \def\arcson{{\rm arcsen}} \def\sonh{{\rm senh}} \def\cosh{{\rm cosh}} \def\tonh{{\rm tgh}} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dys{\displaystyle} \)

INTEGRALI CURVILINEI DI UNA FUNZIONE

E DI UNA FORMA DIFFERENZIALE

Le risposte sono scritte in forma sintetica. Quando sono indicate le pagine, il testo di riferimento e'

P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore

DOMANDA

RISPOSTA
Cosa e' una curva piana? [pag. 155]
Scrivere le equazioni parametriche di una curva piana [(34.1) pag. 156]
Scrivere le equazioni parametriche di una curva nello spazio [(42.1) pag. 193]
Cosa e' il sostegno di una curva piana? [pag. 156]
Quando una curva piana si dice semplice? [pag. 157]
Quando una curva piana si dice chiusa? [pag. 157]
Scrivere una coppia di equazioni parametriche della circonferenza di centro l'origine e raggio 1 [pag. 156]
Scrivere una coppia di equazioni parametriche dell' ellisse di semiassi \( a \,\, \) e \( b \,\, \) scritta in forma canonica [pag. 156]
Scrivere una coppia di equazioni parametriche del grafico di una funzione reale di una variabile reale, definita in un intervallo chiuso \( [a,b] \,\, \) [pag. 165]
Quando una curva piana si dice regolare? [pag. 158]
Scrivere il vettore tangente ad curva piana regolare [pag. 158]
Scrivere il versore tangente ad curva piana regolare [pag. 158]
Scrivere la definizione di lunghezza di una poligonale [(35.12) pag. 167]
Scrivere la definizione di lunghezza di una curva regolare [(35.15) pag. 167]
Scrivere la formula per il calcolo della lunghezza di una curva regolare di classe \( C^1 \,\, \) [(35.1) pag. 164]
Applicando la formula per il calcolo della lunghezza di una curva regolare di classe \( C^1 \,\, \) , ritrovare la lunghezza di una circonferenza di raggio \( r \) [pag. 165]
Applicando la formula per il calcolo della lunghezza di una curva regolare di classe \( C^1 \,\, \) , ritrovare la lunghezza del grafico di una funzione reale di una variabile reale, definita in un intervallo chiuso \( [a,b] \,\, \) [pag. 165]
Quando due curve si dicono equivalenti? Due curve si dicono equivalenti se hanno lo stesso sostegno. Per scrivere che due curve \( \varphi \,\, \) , \( \psi \,\, \) sono equivalenti si usa il simbolo \( \varphi\sim\psi \,\, \)
Siano \( \varphi \,\, \) , \( \psi \,\, \) due curve semplici ed equivalenti. Cosa vuol dire che \( \varphi \,\, \) e \( \psi \,\, \) inducono lo stesso verso? Sia \( \varphi \,\, \) definita in un intervallo chiuso \( [a,b] \,\, \) e sia \( \psi \,\, \) definita in un intervallo chiuso \( [c,d] \,\, \). Si dice che \( \varphi \,\, \) e \( \psi \,\, \) inducono lo stesso verso se \( \varphi (a)=\varphi (c)\,\, \) , \( \varphi (b)=\varphi (d)\,\, \)
Siano \( \varphi \,\, \) , \( \psi \,\, \) due curve semplici ed equivalenti. Cosa vuol dire che \( \varphi \,\, \) e \( \psi \,\, \) inducono versi opposti? Sia \( \varphi \,\, \) definita in un intervallo chiuso \( [a,b] \,\, \) e sia \( \psi \,\, \) definita in un intervallo chiuso \( [c,d] \,\, \). Si dice che \( \varphi \,\, \) e \( \psi \,\, \) inducono versi opposti se \( \varphi (a)=\varphi (d)\,\, \) , \( \varphi (b)=\varphi (c)\,\, \)
Cosa e' una curva orientata? [pag. 169]
Come si definisce l'integrale curvilineo di una funzione? [(37.7) e (37.6) pag. 172]
Cosa rappresenta l'integrale curvilineo della funzione costante uguale a 1? [primi righi pag. 173]
Calcolare i seguenti integrali curvilinei di funzione [ CLICCARE QUI]
Scrivere la proprieta' di linearità' dell'integrale curvilineo di funzione [(37.12) pag. 173]
Se \( f \le g \,\, \) , in che relazione sono gli integrali curvilinei delle funzioni \( f , g \,\, \) ? [(37.13) pag. 173]
Come si maggiora il valore assoluto dell'integrale curvilineo di una funzione? [(37.14) pag. 174]
Qual e' la proprieta' di additivita' dell'integrale curvilineo di funzione? [(37.15) pag. 174]
Cosa e' una forma differenziale (lineare) ? [(38.1) pag. 175]
Cosa vuol dire che una forma differenziale (lineare) e' continua? [pag. 175]
Come si definisce l'integrale curvilineo di una forma differenziale? [(38.2) e (38.3) pag. 175]
Calcolare i seguenti integrali curvilinei di forma differenziale [ CLICCARE QUI]
In che relazione sono gli integrali curvilinei di una forma differenziale su rappresentazioni parametriche di una stessa curva che inducono versi opposti? [(38.4) pag. 176]
Cosa e' il differenziale di una funzione differenziabile? [(39.1) pag. 178]
Cosa e' una primitiva di una forma differenziale? [(39.5) pag. 178]
Cosa e' una forma differenziale esatta? [pag. 178]
Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione delle primitive di una forma differenziale in un aperto connesso [fine pag. 178 - inizio pag. 179]
Enunciare e dimostrare il teorema di integrazione delle forme esatte [pag. 179]
Enunciare il teorema di caratterizzazione delle forme esatte [pag. 180]
Come si definiscono le forme differenziali chiuse nel piano? [(40.3) pag. 184]
Come si definiscono le forme differenziali chiuse nello spazio? [(42.18) pag. 197]
Come si dimostra che una forma differenziale esatta (nel piano) di classe \( C^1 \,\, \) e' chiusa? [fine pag. 183 - inizio pag. 184]
Come si definisce un aperto del piano semplicemente connesso? [pag. 188]
Enunciare il teorema sulle forme differenziali chiuse di classe \( C^1 \,\, \) in un aperto semplicemente connesso del piano [pag. 188]
Come si definiscono i campi vettoriali conservativi? [pag. 197]
Cosa e' un potenziale di un campo vettoriale nello spazio? Un campo vettoriale \( (X \, \) , \( Y \, \) , \( Z) \, \) conservativo e' tale che la forma \( Xdx+Ydy+Zdz \, \) e' esatta, cioe' e' dotata di primitiva. Ogni primitiva di tale forma si dice \( potenziale \, \) del campo vettoriale \( (X \, \) , \( Y \, \) , \( Z) \, \)
Cosa e' un campo vettoriale nello spazio \( irrotazionale \, \) ? E' un campo il cui rotore e' identicamente nullo. Il fatto che un campo \( (X \, \) , \( Y \, \) , \( Z) \, \) e' irrotazionale equivale a dire che la forma \( Xdx+Ydy+Zdz \, \) e' chiusa.
Stabilire se un assegnato campo vettoriale e' conservativo [ CLICCARE QUI]
Come si definisce un aperto stellato dello spazio? [pag. 198]
In che relazione sono gli aperti stellati dello spazio e gli aperti convessi? [pag. 198: un aperto convesso e' stellato, ma un aperto stellato non e' necessariamente convesso]
Enunciare il teorema sulle forme differenziali chiuse di classe \( C^1 \,\, \) in un aperto stellato dello spazio [Teorema 3 pag. 198]

-------------------- aggiornamento dell' 11 dicembre 2014 --------------------

----gli studenti sono invitati a segnalare eventuali errori di stampa, inesattezze, a condividere osservazioni, ecc.----