Relatori

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• Paolo Antonini: L'invariante di Godbillon-Vey in KK-teoria a coefficienti reali
  
  Le tracce sulle C*-algebre giocano un ruolo fondamentale in teoria dell'indice, ad esempio vengono usate per estrarre invarianti numerici dalla classe indice di un operatore ellittico. Mostreremo come introducendo i coefficienti reali nella KK-teoria, le tracce diventano classi di KK-teoria a coefficienti reali. In questo modo applicare una traccia a una classe di K-teoria corrisponde a un prodotto di Kasparov. Rivolgeremo la nostra attenzione a una particolare classe che si può associare in modo naturale all'invariante di Godbillon-Vey di una foliazione di codimensione 1. Questa classe è costruita a partire da una traccia densamente definita prendendo in considerazione lo spazio dei getti trasversi di una foliazione. Nel corso del seminario illustreremo la sua costruzione insieme ad alcune proprietà notevoli. Basato su un lavoro in collaborazione con S. Azzali e G. Skandalis.
• Andrea Appel: Integrabilità con bordo e gruppi quantici affini
  
  L'equazione di Yang-Baxter e l'equazione di riflessione (o equazione di Yang-Baxter con bordo) sono due simmetrie fondamentali nell’ambito di sistemi di particelle su una retta, una semi-retta o un segmento. La ricerca di soluzioni dell'equazione di Yang-Baxter ha portato allo sviluppo della teoria dei gruppi quantici di Drinfeld-Jimbo e delle R-matrici universali a partire dalla metà degli anni 80. Nel caso dell’equazione di riflessione, una teoria analoga è stata sviluppata sistematicamente solo di recente nel contesto delle "quantum symmetric pairs". In questo seminario, darò una panoramica di alcuni di questi sviluppi recenti ottenuti in lavori congiunti con B. Vlaar e T. Przezdziecki.
• Paolo Aschieri: Atiyah sequences of braided Lie algebras and their splittings
  
  We study infinitesimal gauge transformations for noncommutative principal bundles which are equivariant under a triangular Hopf algebra. They close a braided Lie algebra and lead to an Atiyah sequence of braided Lie algebras (or braided Lie algebroid). Connections are introduced as splittings of the sequence and their curvature studied. Explicit examples of infinitesimal gauge transformations and of connections on principal bundles on noncommutative spheres are presented. (Based on joint works with G. Landi and C. Pagani)
• Alberto Cattaneo: Poisson structures from corners of field theories
  
  The BV formalism and its shifted versions in field theory have a nice compatibility with boundary structures. Namely, one such structure in the bulk induces a shifted (possibly degenerated) version on its boundary. I will discuss in particular how to proceed from the BFV structure on a "space" slice in field theory, which describes the symplectic reduction due to constraints), to a shifted structure on its boundary (the corners of space–time), which in turn describes a Poisson algebra (possibly up to homotopy). I will describe a few examples, including, time permitting, general relativity in the coframe formulation.
• Fabio Gavarini: Quantum group deformations and Quantum Duality Principle
  
  I shall report on an ongoing work about deformations of quantum groups - namely, both quantized universal enveloping algebras (=QUEA's) and quantized formal series Hopf algebras (=QFSHA's) - either by twist or by 2-cocycles, in particular showing how such deformations affect the semiclassical limit of these quanmtum groups (either as a Lie bialgebra, or as a formal Poisson group). The first half of the story will prove to be somewhat "obvious". On the other hand, there exists a second half too, which is quite surprising, as it leads to very nice, unexpected results: it involves an application of the Quantum Duality Principle - ruled by Drinfeld's functors which turn any QUEA into a QFSHA and any QFSHA into a QUEA - in an essential, non-trivial way.
• Antonio Maglio: Strutture di contatto shiftate sugli stack differenziabili
  
  (*) Una struttura di contatto su una varietà è equivalente ad un fibrato in rette L munito di un 2-cociclo non degenere W a valori in L nell'algebroide di gauge DL (W è anche detta una 2-forma simplettica di Atiyah).
  In analogia con il caso simplettico, definiamo una struttura di contatto +1-shiftata su un gruppoide di Lie G come un fibrato in rette L → G nella categoria dei gruppoidi munito di una 2-forma di Atiyah W tale che

  • W è moltiplicativa,
  • dW è coomologicamente banale rispetto alla coomologia simpliciale,
  • il morfismo musicale di W è una mappa di Morita di VB gruppoidi.

  Esempi di strutture di contatto +1-shiftate sono forniti (dai gruppoidi di contatto e) dalle prequantizzazioni dei gruppoidi quasi-simplettici. Il nostro risultato principale è una versione stacky dell'asserto (*). Come risultato a latere, dimostriamo che il nucleo di una 1-forma moltiplicativa a valori in un VB gruppoide con core banale E → G (potrebbe non esistere come distribuzione moltiplicativa liscia su G, ma) esiste sempre come distribuzione stacky sullo stack differenziabile presentato da G. La dimostrazione utilizza una versione per VB gruppoidi del nucleo omotopico in Algebra Omologica.
• Giorgio Musante: Green hyperbolic complexes on Lorentzian manifolds
  
  Complexes of linear differential operators (E,Q) provide a useful framework to deal with the derived critical locus of gauge-theoretic quadratic action functionals. After a brief introduction on the homotopy approach to algebraic quantum field theory, in this talk I will introduce the new notion of Green hyperbolic complexes which replaces and extends that of Green hyperbolic operators (on Lorentzian manifolds) to the graded context of complexes of differential operators. Green hyperbolic complexes are defined through a homological generalization of retarded and advanced Green’s operators given in terms of the contractibility of the derived mapping complex of suitable cochain-valued functors. Furthermore, I will show that homological generalizations of the main features of Green hyperbolic operators, as the uniqueness of retarded/advanced Green’s operators and the existence of compatible covariant and fixed-time Poisson structures, hold. Based on a joint work with M. Benini and A. Schenkel.
• Margherita Paolini: Forme intere di algebre affini
  
  Sia g una algebra di Lie e sia U(g) la sua algebra inviluppante universale. Denotiamo con Z(g) il sottoanello su Z di U(g) generato dalle potenze divise dei generatori di Chevalley di g. Nel caso in cui g è una algebra di tipo semplice finito dimensionale Z(g), è stata introdotta e studiata da Kostant. L'estensione di questo risultato al caso in cui g sia una algebra di tipo affine e i generatori siano di tipo chevalley è stata studiata da Garland (per il caso untwisted) e da Mitzman (casi twisted). In questo seminario parleremo delle strutture che intervengono in queste forme intere e introdurremo l'analogo nel caso in cui i generatori siano di tipo loop.
• Thomas Weber: Principal differential calculi over projective bases
  
  In noncommutative differential geometry Hopf-Galois extensions generalize the concept of principal bundle. Given a covariant calculus on the total space algebra there are natural notions of base forms and horizontal forms. If the bicovariant calculus on the structure Hopf algebra is compatible with the former, in the sense that the vertical map constitutes a short exact sequence, we have a so-called principal differential calculus. Then, the faithfully flat Hopf-Galois extension amplifies to a Hopf-Galois extension of graded algebras. In this talk we give a sheaf-theoretic approach to principal differential calculi. This is required in the presence of projective bases, where global sections are usually trivial and the local information is crucial. The theory is elucidated by the explicit example given by the sheaf of Ore extensions of q-deformed SL(2,C) over CP1. The presentation is based on a collaboration with Aschieri, Fioresi and Latini.
• Jacopo Zanchettin: Hopf algebroids over quantum projective spaces and twists
  
  The Ehresmann-Schauenburg (E-S) bialgebroid associated with a Hopf-Galois extension is the noncommutative analog of the gauge groupoid associated with a principal bundle. As for a Hopf algebra, a Hopf algebroid is a bialgebroid with an invertible antipode. In this talk, we first show how twists (a sub-group of characters) of a bialgebroid are related to antipodes in the general case, and then we characterize them for the E-S bialgebroid. Finally, we work out the example of a family of O(U(1))-extensions over quantum projective spaces.