1 A cosa serve

• Il critero di Nyquist consente di studiare la stabilità di un sistema in retroazione mediante un’analisi di tipo grafico della risposta in frequenza della funzione di trasferimento a ciclo aperto \[ L(j\omega ) = R(j\omega )G(j\omega ) \]

  • in particolare, è necessario tracciare il diagramma di Nyquist della funzione complessa \(L(j\omega )\) sul piano complesso a partire dal suo diagramma polare, ovvero il luogo dei punti \(L(j\omega )\), per \(\omega \in [0,+\infty [\) e dalla sua immagine speculare, ovvero il luogo dei punti per \(\omega \in ]-\infty , 0]\), in virtù del fatto che la risposta in frequenza ha parte reale pari e parte immaginaria dispari.
  • si ottengono 2 curve sul piano complesso puntegiate in \(\omega \), su cui tipicamente si pongono delle frecce a indicare il verso di percorrenza al crescere della pulsazione

• Il modo più semplice di tracciare il diagramma di Nyquist è quello di partire dai diagrammi di Bode, per i quali esistono regole di tracciamento e, da questi, tracciare il luogo \(L(j\omega )\) tenendo presente che, alla generica pulsazione \(\omega \):

  • il modulo \(L(j\omega )\) sul piano complesso corrisponde alla lunghezza del vettore sul piano complesso con origine in (0,0) che termina sul punto rappresentativo di \(L(j\omega )\)
  • la fase di \(L(j\omega )\) è pari all’angolo che tale vettore forma con l’asse reale, valutato positivamente in verso antiorario

• Come esempio si riporta il diagramma di Nyquist della funzione \[ L(j\omega ) = \frac {1}{(1+j\omega )^2} \]

  

• Se la funzione di trasferimento possiede poli sull’asse immaginario, il diagramma polare presenta rami che tendono all’infinito; in tal caso, per poter applicare il criterio di Nyquist, è opportuno unire i rami all’infinito con una —o \(m\), se il polo ha molteplicità \(m\)— semicirconferenze di raggio \(R\to \infty \) e centro nell’origine, percorse in senso orario
• Il diagramma di Nyquist è quindi sempre una curva chiusa nel piano complesso, il cui orientamento per convenzione è fissato secondo valori crescenti di \(\omega \)