\(P\) il numero di poli a parte reale positiva di \(L(s)\)
\(N\) il numero di giri del diagramma di Nyquist di \(L(j\omega )\) intorno al punto \(-1\),
conteggiati positivamente se compiuti in senso antiorario e negativamente
se compiuti in senso orario
se il diagramma di Nyquist passa per il punto \(-1\) allora \(N\) è non ben definito
Il criterio di Nyquist afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché il
sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che \(N\) sia ben definito e
risulti
\[ N = P \]
Si può dimostrare che:
quando \(N\) non è ben definito, il sistema a ciclo chiuso può essere
semplicemente stabile o instabile
se \(N\) è ben definito, risulta:
\[ Z = P-N \]
con \(Z\) numero di poli a parte reale positiva della funzione di trasferimento
a ciclo chiuso
La dimostrazione del criterio di Nyquist, che viene omessa, è basata sullo studio
dell’equazione
\[ 1+L(s) = 0 \]
da cui deriva il criterio di tipo grafico basato sul calcolo del numero di giri intorno
al punto \(-1\), detto anche punto critico
Tale equazione si può riscrivere nella forma
\[ 1 + \mu \tilde {L}(s) = 0, \Longleftrightarrow \frac {1}{\mu } + \tilde {L}(s) = 0 \]
che consente di analizzare la stabilità al variare del guadagno di anello, compreso il
caso di sistemi con retroazione positiva (\(\mu <0\)), definendo \(N\) come il numero di giri del
diagramma di Nyquist di \(\tilde {L}(j\omega )\), valutati positivamente in senso antiorario, intorno al
punto \(-1/\mu \)