◽[00106] Analisi Matematica I
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Gli insiemi numerici. Cenni di teoria degli insiemi: definizioni ed esempi. Cenni sulla costruzione degli insiemi numerici. Gli assiomi dei numeri reali. Definizione di minimo e massimo e di un insieme. Definizione di estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Definizione di numero complesso. Forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso. Le operazioni nel campo dei numeri complessi. Elevamento a potenza ed estrazione di radice nel campo dei numeri complessi.
Le funzioni reali. Il concetto insiemistico di funzione. Funzioni invertibili. Funzioni monotone. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto. La funzione potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche.
Elementi di topologia. Elementi di topologia della retta. Definizione di punto di accumulazione di un insieme. Definizione di punto isolato di un insieme. Definizione di insieme aperto e di insieme chiuso. Definizione di insieme denso. Definizione di insieme compatto. Definizione di insieme connesso.
Limiti di successioni. Definizione di successione. Definizione di limite di successioni. Operazioni con i limiti. Limiti notevoli. Teorema della permanenza del segno e suoi corollari. Successioni monotone e teorema di regolarità delle successioni monotone. Il numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e completezza.
Limiti di funzioni e funzioni continue. Legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni: teorema ponte. Limiti notevoli. Operazioni con i limiti. Definizione di limite di una funzione: prime proprietà ed esempi. Definizione di limite destro e limite sinistro. Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Classificazione delle discontinuità di una funzione. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di continuità della funzione inversa. Limiti di funzioni monotone. Criterio di continuità per le funzioni monotone. Infiniti e infinitesimi. Principio di sostituzione.
Derivate. Definizione di derivata. Interpretazione geometrica e meccanica del concetto di derivata. Relazione tra derivabilità e continuità: esempi e controesempi. Dominio della funzione derivata. Classificazione dei punti di non derivabilità: punti angolosi e cuspidali. Operazioni con le derivate: regole di derivazione della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni derivabili. Regola di derivazione per le funzioni composte e regola di derivazione delle funzioni inverse. Le derivate delle funzioni elementari.
Applicazioni del calcolo differenziale. Definizione di estremo relativo e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Criterio di monotonia. Concavità e convessità. Criterio di convessità. Studio del grafico di una funzione. Teorema di de l'Hôpital.
Integrali definiti. Definizione di integrale di Riemann di una funzione limitata. Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann. Il teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e formula fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti. L'integrale indefinito: definizione e proprietà. Tabella degli integrali immediati. Calcolo di integrali per semplici trasformazioni dell'integrando. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per parti. Integrazione per sostituzione: esercizi ed esempi. Calcolo di aree di figure piane.
Formula di Taylor. Formula di Taylor con resto in forma di Peano. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange. Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti.
Serie numeriche. Definizione di Serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di Cauchy per le serie. Studio della serie geometrica, della serie armonica e della serie armonica generalizzata. Proprietà delle serie a termini non negativi. Teorema sulle serie a termini non negative. Criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio degli infinitesimi, criterio del rapporto e della radice. Serie alternate e relativo criterio di convergenza. Convergenza assoluta di una serie.
Testi consigliati:
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi di analisi matematica 1. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea. Editore: Liguori. ISBN: 8820733838
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di matematica vol.1.1. Editore: Liguori. ISBN: 8820763516
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di matematica vol.1.2. Editore: Liguori. ISBN: 8820752522
Testi di approfondimento:
Gianni Gilardi. Analisi uno. Editore: McGraw-Hill Education. ISBN: 8838674051
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Analisi matematica vol.1. Editore: Liguori. ISBN: 8820728192
Walter Rudin. Principles of mathematical analysis. Editore: McGraw-Hill Education. ISBN: 0070856133