◽[00106] Analisi Matematica II

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◽Orario Lezioni / Microsoft Teams

Le lezioni saranno anche disponibili su piattaforma Microsoft Teams. La bacheca del corso contiene gli orari delle lezioni e il codice per connettersi al Team.

◽ Contenuti del corso

1 Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teorema sulla continuità del limite. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teoremi di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Criteri di D'Alembert e Cauchy-Hadamard. Serie di Taylor.

2 Funzioni di due o più variabili
Elementi di Algebra Lineare e Topologia. Cenni sullo spazio vettoriale ℝ². Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Elementi di topologia di ℝ². Limiti e continuità. Condizione necessaria per l'esistenza del limite. Calcolo differenziale. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Teorema del differenziale. Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del gradiente di una funzione differenziabile. Applicazioni del calcolo differenziale. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Formula di Taylor al secondo ordine con i resti di Lagrange e Peano. Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria del primo ordine. Condizione sufficiente del secondo ordine. Massimi e minimi assoluti.

3 Equazioni differenziali
Teoremi di esistenza e unicità. Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità globale. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Integrale generale di un'equazione differenziale lineare. Equazioni differenziali lineari omogenee. Equazioni differenziali lineari non omogenee. Determinante wronskiano. Teorema del wronskiano. Teorema sull'integrale generale di una equazione differenziale lineare. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee con termine noto di tipo particolare. Metodo della variazione delle costanti. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali di Bernoulli.

4 Integrali curvilinei e forme differenziali
Curve semplici, chiuse e regolari. Versore tangente e versore normale. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Indipendenza dell'integrale curvilineo di una funzione dalla rappresentazione parametrica della curva. Forme differenziali esatte. Integrale curvilineo di una forma differenziale e sua interpretazione fisica. Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Teorema delle forme differenziali in un rettangolo. Teorema delle forme differenziali in un aperto semplicemente connesso.

5 Integrali doppi e tripli
Integrali su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue. Primo teorema di Guldino. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. Formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi. Cambiamento di variabili in coordinate polari. Altri cambi di variabili. Integrali tripli. Formula del cambiamento di variabili negli integrali tripli. Cambiamento di variabili in coordinate sferiche e cilindriche.

6 Superfici e integrali di superficie
Superfici regolari: definizione ed esempi. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie regolare. Integrali di superficie. Teorema di Guldino sulle superfici di rotazione. Teorema della divergenza e formula di Stokes nello spazio.

7 Funzioni implicite
Introduzione alle funzioni implicite. Teorema del Dini per funzioni implicite di una variabile. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due dimensioni.

◽Testi

Il libro di teoria è edito dalla Liguori ed è il seguente: Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due: Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, 2001,  pp.312, ISBN: 9788820731373. Ulteriori dettagli sono disponibili sulla pagina dell'editore.

Di seguito i dettagli relativi ai due testi di esercizi: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di Analisi matematica Due, 2017.  Prima parte, pp.272, ISBN: 9788808220707. Seconda parte, pp.304, ISBN: 9788808191458. Ulteriori dettagli sono disponibili sulla pagina dell'editore.

◽Prerequisiti

É richiesta la conoscenza degli argomenti del corso di Analisi Matematica I. La conoscenza di nozioni di base dell'Algebra Lineare è raccomandata.